Matematikstuderende skal ofte give svar i "de enkleste udtryk". Selvom et skræmmende stort udtryk og en meget kortfattet én gør det samme, betragtes et problem ikke som løst, før svaret er reduceret til de enklest mulige vilkår. Kortere svar er også meget lettere at arbejde igennem. Af disse grunde er det vigtigt at lære at forenkle udtryk for dem, der ønsker at blive matematikere.
trin
Metode 1 af 2: Brug af operationsrækkefølgen
Trin 1. Husk rækkefølgen af operationer
Udtryk inde i seler løses først, derefter firkantede parenteser og derefter parenteser. Endvidere hersker følgende rækkefølge inden for disse udtryk: eksponenter, multiplikation, division, addition og subtraktion. Hvis udtrykket er forenklet ud af den rækkefølge, kan kontoen gå galt. For at hjælpe med at huske den korrekte rækkefølge skal du huske at "TÆNKE balladerne", dvs. PEMDAS (parenteser, eksponenter, multiplikation, division, addition og til sidst subtraktion).
Bemærk, at selvom grundlæggende viden om rækkefølgen af operationer muliggør forenkling af de mest grundlæggende udtryk, er der behov for særlige teknikker for at forenkle mange variable udtryk, herunder næsten alle polynomer. Se Metode to nedenfor for flere detaljer
Trin 2. Start med at løse alle termer inden for parenteserne
I matematik angiver parenteser, at udtrykkene i dem skal beregnes separat. Uanset de operationer, der udføres inden for dem, er det første skridt i retning af forenkling at løse vilkårene i parentes. Husk, at rækkefølgen af operationer stadig hersker inden for hvert par parenteser. F.eks. Inden for parenteser, multipliceres før tilføjelse, tilføjelse før subtraktion osv.
-
Lad os som et eksempel forenkle udtrykket 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). Heri løser vi termerne i parentes, det vil sige 5 + 2 og 3 + 4/2, først. 5 + 2 =
Trin 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Trin 5
Det andet udtryk i parentes er forenklet til 5, da vi opdeler 4/2 som det første skridt, der skal tages med termer inden for parenteser. Hvis vi bare skulle løse venstre til højre, ville vi først tilføje 3 og 4 og derefter dividere med 2, hvilket ville give det forkerte resultat: 7/2
- Hvis der er flere parenteser, den ene inden i den anden, skal du løse dem, der er længst inde først, derefter de næste, og så videre. Ordren er indefra og ud.
Trin 3. Løs eksponenterne
Efter at have løst alt i parentes, er det tid til at løse eksponenterne. Find løsningen for hver eksponent. Tilpas derefter svarene i ligningen.
-
Efter at have behandlet parenteserne vendte vores eksempeludtryk til 2x + 4 (7) + 32 - 5. Den eneste eksponent i vores eksempel er 32, hvilket resulterer i
Trin 9.. Tilpas dette resultat til ligningen i stedet for 32 for at få 2x + 4 (7) + 9 - 5.
Trin 4. Løs problemer med multiplikation af udtryk
Husk, at multiplikation kan repræsenteres på en række måder. Et × -symbol, en prik eller en stjerne bruges alle til at repræsentere en multiplikation. Men et tal ved siden af en parentes eller variabel (f.eks. 4 (x)) bruges også til at angive en multiplikation.
-
Der er to eksempler på multiplikation i vores problem: 2x (2x er 2 × x) og 4 (7). Vi kender ikke værdien af x, så vi efterlader 2x som den er. 4 (7) = 4 × 7 =
Trin 28.. Vi kan derefter omskrive ligningen som 2x + 28 + 9 - 5.
Trin 5. Fortsæt med opdelingen
Division, ligesom multiplikation, kan også udtrykkes på forskellige måder: & divider og skråstreg (som i 3/4, for eksempel).
Da vi allerede løste et delingsproblem (4/2), da vi løste vilkårene i parentes, har vores eksempel ikke længere delingsproblemer at løse. Så vi kan springe dette trin over. Dette viser, at vi ikke behøver at løse alle operationer, der er inkluderet i PEMDAS -forkortelsen, når vi forenkler et udtryk. Løs bare dem, der er til stede i vores problem
Trin 6. Tilføje.
Du kan beregne summerne fra venstre mod højre i hele udtrykket, men det er lettere at tilføje de tal, der er næste i værdi først. For eksempel i udtrykket 49 + 29 + 51 +71 er det lettere at tilføje 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 og 100 + 100 = 200 end at tilføje 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 og 129 + 71 = 200.
- Vores eksempel er delvist forenklet til "2x + 28 + 9 - 5". Nu skal vi tilføje det, vi kan - lad os se på hvert tilføjelsesproblem fra venstre mod højre. Vi kan ikke tilføje 2x og 28, da vi ikke kender værdien af x, så lad os bare lade det være. Lad os gå videre med 28 + 9 = 37, så vi derefter kan omskrive udtrykket som "2x + 37 - 5".
Trin 7. Træk fra
Dette er det sidste trin i PEMDAS. Løs alle subtraktionsproblemer. Du kan løse tilføjelsen af negative tal i dette trin eller i samme trin som normal tilføjelse - slutresultatet bliver det samme.
-
I vores udtryk, "2x + 37 - 5", er der kun et subtraktionsproblem. 37 - 5 =
Trin 32.
Trin 8. Gennemgå udtrykket
Efter at have løst alle problemerne efter den korrekte driftsorden, får du et forenklet udtryk. Men hvis dit udtryk har en eller flere variabler, forbliver de som de er. Dette er fordi du for at forenkle dem skal finde værdien af variablerne eller bruge specielle teknikker til at forenkle udtrykket (som vist nedenfor).
Vores sidste svar vil være "2x + 32". Vi kan ikke nærme os problemets ende, før vi kender værdien af x. Når vi ved det, vil det være meget lettere at løse problemet
Metode 2 af 2: Forenkling af komplekse udtryk
Trin 1. Tilføj de tilsvarende variabler
Når man behandler udtryk, der indeholder variabler, er det vigtigt at huske, at udtryk med den samme variabel og eksponent kan tilføjes og trækkes fra som normale tal. Termer skal have den samme variabel og den samme eksponent. For eksempel kan 7x og 5x tilføjes, men 7x og 5x2 du kan ikke.
- Denne regel gælder også for udtryk med flere variabler. For eksempel 2xy2 kan føjes til -3xy2, men ikke ved -3x2y eller -3y2.
- Lad os se på udtrykket x2 + 3x + 6 - 8x. I den kan vi tilføje 3x og -8x, da de ligner hinanden. Kort sagt får vi x2 - 5x + 6.
Trin 2. Forenkle numeriske brøker ved at dividere eller "annullere faktorer
Brøker, der kun har tal (det vil sige ingen variabler) i tælleren og nævneren kan forenkles på flere måder. Den nemmeste måde er at løse brøken som et enkelt delingsproblem. Enhver multiplikatorfaktor, der vises i tælleren og nævneren på samme tid, kan også annulleres. Det er fordi det resulterer i 1 (antal divideret med sig selv). Med andre ord, hvis tælleren og nævneren deler en faktor, kan den fjernes fra brøken, hvilket gør svaret enklere.
- Lad os f.eks. Se på brøkdelen 36/60. Med en lommeregner kan vi få resultatet 0.6. Vi kan også forenkle brøken ved at fjerne de fælles faktorer. En anden måde at se på 36/60 fraktionen er (6 × 6)/(6 × 10). Dette kan omskrives som 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, så vores udtryk er faktisk 1 × 6/10 = 6/10. Men vi er ikke færdige endnu - både 6 og 10 deler faktoren 2. Ved at gentage processen udført ovenfor får vi 3/5.
Trin 3. Annuller variabelfaktorerne i brøker med variabler
Udtryk med variabler i form af brøker giver unikke muligheder for forenkling. Ligesom normale brøker giver fraktioner med variabler dig mulighed for at fjerne de faktorer, der deles af både tælleren og nævneren. Men i brøker med variabler kan disse faktorer enten være tal eller udtryk med variabler.
- Lad os se udtrykket (3x2 + 3x)/(-3x2 + 15x). Denne brøk kan omskrives som (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x vises i både tæller og nævner. Når vi tager disse faktorer ud af ligningen, får vi (x + 1)/(5 - x). På samme måde i udtrykket (2x2 + 4x + 6)/2, da hvert udtryk er delbart med 2, kan vi skrive udtrykket som (2 (x)2 + 2x + 3))/2 og forenkle det derefter til x2 + 2x + 3.
- Bemærk, at du ikke kan annullere vilkår - du kan kun annullere multiplikative faktorer, der vises i både nævneren og tælleren. For eksempel i udtrykket (x (x + 2))/x kan "x" annulleres i både tæller og nævner, hvilket resulterer i (x + 2)/1 = (x + 2). Dog kan (x + 2)/x ikke annulleres i 2/1 = 2.
Trin 4. Multiplicer udtryk i parentes med deres konstanter
Når vi behandler variabler i parentes med en konstant ved siden af, kan vi nogle gange gange hvert udtryk i parentes med konstanten og få et enklere resultat. Dette gælder for rent numeriske konstanter og for konstanter, der indeholder variabler.
- Eksempelvis udtrykket 3 (x2 + 8) kan forenkles til 3x2 + 24, mens 3x (x2 + 8) kan forenkles til 3x3 + 24x.
- Bemærk, at i nogle tilfælde (f.eks. Brøker med variabler) giver konstanten ved siden af parentesen en chance for at annullere. Derfor er det bedre ikke at bruge det til at formere sig gennem parenteser. I brøkdelen (3 (x2 + 8))/3x, for eksempel vises faktoren 3 i både tælleren og nævneren, så vi kan annullere det og forenkle udtrykket til (x2 + 8)/x. Det er lettere at arbejde på denne måde end med (3x3 + 24x)/3x, hvilket er det resultat, vi ville få, hvis vi havde ganget igennem parenteserne.
Trin 5. Forenkle ved hjælp af faktorisering
Faktorisering er en teknik, hvorved nogle udtryk med variabler, herunder polynomier, kan forenkles. Tænk på faktorisering som det modsatte af "multiplikation gennem parenteser" set ovenfor - nogle gange kan et udtryk gøres enklere ved at gange et udtryk over et andet, frem for at arbejde med et enkelt samlet udtryk. Dette gælder især, hvis factoring af et udtryk giver dig mulighed for at annullere en del af det (ligesom du ville gøre en brøkdel). I særlige tilfælde (normalt med kvadratiske ligninger) giver factoring dig endda mulighed for at finde løsninger på ligningen.
- Lad os se på udtrykket x2 - 5x + 6 en gang mere. Dette udtryk kan indregnes i (x - 3) (x - 2). Så hvis x2 - 5x + 6 er tælleren for et givet udtryk med et af disse udtryk i nævneren, som i udtrykket (x2 - 5x + 6)/(2 (x - 2)), kan vi faktorisere det ud, så vi kan annullere det med nævneren. Med andre ord, med (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) annulleres vilkårene i (x - 2), hvilket resulterer i (x - 3)/2.
-
Som nævnt ovenfor har en anden grund til at faktorisere et udtryk, at factoring afslører svaret på visse ligninger, især når disse ligninger skrives som udtryk, der svarer til nul. Lad os f.eks. Se på ligningen x2 - 5x + 6 = 0. Gennem faktorisering får vi (x - lad os 3) (x - 2) = 0. Da ethvert tal ganget med nul resulterer i nul, ved vi, at ethvert udtryk i parentes kan svare til nul. Derfor vil ethvert udtryk på venstre side også resultere i nul. Derefter,
Trin 3
Trin 2. er svarene på ligningen.
