I algebra er binomier to termer forbundet med et plus- eller minustegn, f.eks. Ax+b { displaystyle ax+b}
. O primeiro termo sempre inclui uma variável, enquanto o segundo pode ou não a incluir. Fatorar um binômio significa encontrar termos mais simples que, quando multiplicados um pelo outro, produzem aquele número binômio, o que o ajuda a calculá-lo ou simplificá-lo.
Passos
Método 1 de 3: Fatorando números binômios
Trin 1. Gennemgå det grundlæggende i factoring
Factoring er at "opdele" et stort antal i dets enkleste delbare dele. Hver af disse dele kaldes en "faktor". For eksempel kan tallet 6 opdeles i fire forskellige tal: 1, 2, 3 og 6. Så faktorerne 6 er 1, 2, 3 og 6.
- Faktorerne 32 er 1, 2, 4, 8, 16 og 32
- Både tallet "1" og det tal, der skal indregnes, vil altid være faktorer. Så faktorerne for et lille antal som 3 er bare 1 og 3.
- Faktorerne er bare helt delelige tal eller "hele" tal. Du kan dividere 32 med 3, 564 eller 21, 4952, det vil ikke føre til en faktor, bare endnu en decimal.
Trin 2. Bestil vilkårene i binomiet for at gøre det lettere at læse
Et binomium er ikke andet end tilføjelse eller subtraktion af to tal, hvoraf mindst et indeholder en variabel. Nogle gange har disse variabler eksponenter, f.eks. X2 { displaystyle x^{2}}
ou 5y4{displaystyle 5y^{4}}
. Ao fatorar um número binômios pela primeira vez, pode ser mais fácil reorganizar as equações com variáveis ascendentes, ou seja, o maior exponente ficando no final. Por exemplo:
- 3t+6{displaystyle 3t+6}
- 3x4+9x2{displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}
- x2−2{displaystyle x^{2}-2}
→ 6+3t{displaystyle 6+3t}
→ 9x2+3x4{displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}
→ −2+x2{displaystyle -2+x^{2}}
Veja como o sinal de subtração permanece na frente do 2. Se um termo é subtraído, mantenha o sinal de negativo na frente dele
Trin 3. Find den største fælles faktor for begge udtryk
Find med andre ord det størst mulige antal, som begge dele af binomiet kan deles med. Hvis du har svært ved at finde det, skal du blot forenkle begge tal individuelt og derefter se på det største tal, der er til stede i de to faktoriseringer. For eksempel:
-
Praktisk problem:
3t+6 { displaystyle 3t+6}
- Fatores de 3: 1, 3
- Fatores de 6: 1, 2, 3, 6.
- O maior fator comum é o 3.
Trin 4. Opdel hvert udtryk med den største fælles faktor
Når du har fundet faktoren, skal du fjerne den fra hvert udtryk. Ved dog, at du bare "bryder" vilkårene og gør hver enkelt til et lille delingsproblem. Hvis du gjorde alt rigtigt, deler begge ligninger din faktor:
-
Praktisk problem:
3t+6 { displaystyle 3t+6}
-
Encontre o maior fator comum:
3
-
Remova o fator de ambos os termos:
3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}
Trin 5. Multiplicer faktoren med udtryksresultatet for at afslutte
I det sidste problem fjerner du tallet 3 for at få t+2 { displaystyle t+2}
. Porém, você não estava removendo o número 3 inteiramente; ele foi apenas fatorado para simplificar as coisas. Não se pode remover números sem colocá-los de volta depois! Multiplique seu fator pela expressão para finalmente terminar. Por exemplo:
-
Problema prático:
3t+6{displaystyle 3t+6}
-
Encontre o maior fator comum:
3
-
Remova o fator de ambos os termos:
3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}
-
Multiplique o fator pela nova expressão:
3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
- Resposta final fatorada: 3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
Trin 6. Kontroller konti ved at gange alle tallene tilbage til den oprindelige ligning
Hvis du har gjort alt rigtigt, skal det være let at kontrollere svaret. Bare multiplicere faktoren med begge individuelle dele i parentes. Hvis resultatet matcher det originale binomiale nummer og ikke er indregnet, har du gjort alt rigtigt. Fra begyndelsen til slutningen skal du løse udtrykket 12t+18 { displaystyle 12t+18}
para praticar:
-
Reorganize os termos:
18+12t{displaystyle 18+12t}
-
Encontre o maior denominador comum:
6{displaystyle 6}
-
Remova o fator de ambos os termos:
18t6+12t6=3+2t{displaystyle {frac {18t}{6}}+{frac {12t}{6}}=3+2t}
-
Multiplique o fator pela nova expressão:
6(3+2t){displaystyle 6(3+2t)}
-
Verifique a resposta:
(6∗3)+(6∗2t)=18+12t{displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}
Método 2 de 3: Fatorando binômios para resolver equações
Trin 1. Brug faktorisering til at forenkle ligninger og gøre det lettere at løse
Når man beregner en ligning med binomiale tal, især komplekse, kan det virke som om der ikke er nogen løsning. Prøv for eksempel at beregne 5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y^{2} =-3y}
. Uma forma de resolver uma expressão, principalmente com exponentes, é fatorá-la antes:
-
Problema prático:
5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}
- Lembre-se de que os números binômios devem ter apenas dois termos. Se houver mais do que dois termos, vai ser preciso aprender como calcular polinômios.
Trin 2. Tilføj og træk fra, så den ene side af ligningen er lig med nul
Denne strategi er afhængig af en af de mest grundlæggende fakta i matematik: ethvert tal ganget med nul er lig med nul. Så hvis ligningen er lig nul, så skal et af udtrykkene være nul! Til at begynde med, gør den ene side lig med nul ved hjælp af addition og subtraktion.
-
Praktisk problem:
5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y^{2} =-3y}
-
Iguale a 0:
5y−2y2+3y=−3y+3y{displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}
- 8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
Trin 3. Faktor den side, der er modsat nul, som du normalt ville
Nu kan du forestille dig, at den anden side ikke eksisterer i et trin. Find bare den største fælles faktor, bryd den ned, og skab et faktoriseret udtryk.
-
Praktisk problem:
5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y^{2} =-3y}
-
Iguale a 0:
8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
-
Fatore:
2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}
Trin 4. Match indersiden og ydersiden af parentesen til nul
I det praktiske problem multiplicerer du 2y med 4 - y, og det skal svare til nul. Da et hvilket som helst tal ganget med nul er lig med nul, betyder det, at 2y eller 4 - y skal være lig med 0. Opret to separate ligninger for at se, hvilket "y" skal være på hver side til nul.
-
Praktisk problem:
5y − 2y2 = −3y { displaystyle 5y-2y^{2} =-3y}
-
Iguale a 0:
8y−2y2+3y=0{displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}
-
Fatore:
2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}
-
Iguale ambas as partes a 0:
- 2y=0{displaystyle 2y=0}
- 4−y=0{displaystyle 4-y=0}
Trin 5. Beregn begge sider af nul for at få det endelige svar (eller svar)
Der kan være et eller flere svar. Husk: kun den ene side skal svare til nul, så du kan få nogle forskellige "y" -værdier, der løser den samme ligning. Mod slutningen af det praktiske problem:
-
2y = 0 { displaystyle 2y = 0}
- 2y2=02{displaystyle {frac {2y}{2}}={frac {0}{2}}}
- y = 0
- 4−y+y=0+y{displaystyle 4-y+y=0+y}
- y = 4
Trin 6. Erstat svarværdierne for at se, om de virker
Hvis du har de korrekte "y" -værdier, kan du bruge dem til at løse ligningen. Dette er meget enkelt; bare udskift hver "y" -værdi med variablen som vist nedenfor. Da svarene var y = 0 og y = 4:
-
5 (0) −2 (0) 2 = −3 (0) { displaystyle 5 (0) -2 (0)^{2} =-3 (0)}
- 0+0=0{displaystyle 0+0=0}
- 0=0{displaystyle 0=0}
Essa é a resposta correta
- 20−32=−12{displaystyle 20-32=-12}
- 0=0{displaystyle 0=0}
Essa resposta também está correta
Método 3 de 3: Lidando com problemas mais difíceis
Trin 1. Husk, at variabler også tæller som faktorer, selv med eksponenter
Glem ikke, at factoring ikke er andet end at finde heltalets delbare dele af et tal. Udtrykket x4 { displaystyle x^{4}}
é uma outra forma de representar x∗x∗x∗x{displaystyle x*x*x*x}
. Det betyder, at du kan faktorisere hver"
-
2t+t2 { displaystyle 2t+t^{2}}
kan medregnes, da begge udtryk indeholder a">
- Você pode até mesmo tirar várias variáveis ao mesmo tempo. Por exemplo, na equação x2+x4{displaystyle x^{2}+x^{4}}
ambos os termos contêm o mesmo x2{displaystyle x^{2}}
. Você pode fatorá-la para x2(1+x2){displaystyle x^{2}(1+x^{2})}
Trin 2. Anerkend ikke-forenklede binomiale tal ved at gruppere lignende udtryk
Brug f.eks. Udtrykket 6+2x+14+3x { displaystyle 6+2x+14+3x}
. Pode parecer que existem quatro termos, mas olhe atentamente e veja que na verdade só existem dois. É possível somar termos semelhantes, e como os números 6 e 14 não possuem variáveis, e os termos 2x e 3x possuem a mesma variável, eles podem ser agrupados. Agora, a fatoração fica fácil:
-
Problema original:
6+2x+14+3x{displaystyle 6+2x+14+3x}
-
Reorganize os termos:
2x+3x+14+6{displaystyle 2x+3x+14+6}
-
Agrupe os termos semelhantes:
5x+20{displaystyle 5x+20}
-
Encontre o maior fator comum:
5(x)+5(4){displaystyle 5(x)+5(4)}
-
Fatore:
5(x+4){displaystyle 5(x+4)}
Trin 3. Anerkend den "særlige forskel på perfekte rødder"
En perfekt rod er et tal, hvis kvadratrod er et helt tal, f.eks. 9 { displaystyle 9}
(3∗3){displaystyle (3*3)}
x2{displaystyle x^{2}}
(x∗x){displaystyle (x*x)}
ou até mesmo 144t2{displaystyle 144t^{2}}
(12t∗12t){displaystyle (12t*12t)}
Caso seu binômio seja um problema de subtração com duas raízes perfeitas, como a2−b2{displaystyle a^{2}-b^{2}}
você pode simplesmente substituí-los na fórmula:
-
Fórmula da diferença de raízes perfeitas:
a2−b2=(a+b)(a−b){displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
-
Problema prático:
4x2−9{displaystyle 4x^{2}-9}
-
Calcule as raízes quadradas:
- 4x2=2x{displaystyle {sqrt {4x^{2}}}=2x}
- 9=3{displaystyle {sqrt {9}}=3}
Trin 4. Lær fordelingen af den "perfekte kubikrodsforskel"
Ligesom perfekte rødder er dette en simpel formel, der skal bruges, når du har to kubiske termer trukket fra hinanden. For eksempel a3 − b3 { displaystyle a^{3} -b^{3}}
. Da mesma forma que antes, basta achar a raiz cúbica de cada termo e substituí-la na fórmula:
-
Fórmula da diferença dos cubos perfeitos:
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}
-
Problema prático:
8x3−27{displaystyle 8x^{3}-27}
-
Calcule as raízes cúbicas:
- 8x33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
- 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
Trin 5. Ved, at summen af de perfekte terninger også passer ind i en formel
I modsætning til perfekte firkanter er det også muligt at beregne summen af kubikrødder, f.eks. A3+b3 { displaystyle a^{3}+b^{3}}
com uma fórmula simples. ela é quase igual à fórmula anterior, mas com os sinais de soma e subtração invertidos. a fórmula é tão fácil quanto as outras duas, e tudo o que você precisa fazer é reconhecer os dois cubos no problema para usá-los:
-
fórmula da soma dos cubos perfeitos:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}
-
problema prático:
8x3−27{displaystyle 8x^{3}-27}
-
calcule as raízes cúbicas:
- 8x33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
- 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
dicas
- nem todos os binômios possuem fatores comuns! alguns deles já aparecem em sua forma mais simples possível.
- caso não tenha certeza se existe um fator comum, divida pela menor parte. por exemplo, se você não reconhece que 16 é o fator comum entre 32 e 16, comece dividindo ambos os números por 2. você vai ficar com os números 16 e 8, que podem ser divididos por 8. agora, você tem os números 2 e 1, ou seja, os fatores menores. com certeza há algo maior do que 8 e 2 que seja um fator comum.
- saiba que a sexta potência (x6) é tanto um quadrado perfeito quanto um cubo perfeito. portanto, você pode aplicar ambas as formas especiais acima, em qualquer ordem, para um binômio que seja a diferença das sextas potências perfeitas, como x6 - 64. no entanto, pode ser muito mais fácil aplicar antes a fórmula dos quadrados perfeitos, para que você possa fatorar completamente o binômio.
