6 måder at faktorere polynom på anden grad (kvadratiske ligninger)

2023 Forfatter: Barbara Vance | [email protected]. Sidst ændret: 2023-11-27 00:41

Et polynom indeholder en variabel (x) hævet til en effekt, kendt som en grad, og flere udtryk og/eller konstanter. Factoring af et polynom betyder at opdele udtrykket i mindre udtryk, der formerer sig. Denne viden studeres fra Algebra I og fremefter og kan være vanskelig at forstå, hvis du ikke har et fundament.

trin

Starter

Trin 1. Saml udtrykket

Standardformatet for den kvadratiske ligning er:

økse² + bx + c = 0

Start med at bestille vilkårene for ligningen fra størst til mindst magt, ligesom i ovenstående form. Tag for eksempel;

6 + 6x² + 13x = 0

Udtrykket bliver omorganiseret, så det lettere kan arbejdes ved at ændre placeringen af vilkårene:

6x² + 13x + 6 = 0

Trin 2. Find den faktoriserede form ved hjælp af en af metoderne herunder

Fakturering af et polynom resulterer i to mindre udtryk, der kan multipliceres for at producere det originale polynom:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

I dette eksempel er (2x +3) og (3x + 2) faktorer for det originale udtryk, 6x² + 13x + 6.

Trin 3. Kontroller resultatet

Multiplicer de identificerede faktorer. Så er det bare at kombinere lignende udtryk. Start med:

(2x + 3) (3x + 2)

Lad os teste det ved hjælp af FOIL -metoden (engelsk for First Outside, Inside, Last - outside first, then inside), også kaldet den distributive egenskab ved multiplikation, får:

6x² + 4x + 9x + 6

Det er nu muligt at tilføje 4x og 9x, da de er lignende udtryk. Du ved, at faktorerne er korrekte, fordi den oprindelige ligning blev opnået:

6x² + 13x + 6

Metode 1 af 6: Trial and Error

Hvis du har et meget simpelt polynom, kan du muligvis selv finde ud af faktorerne ved at se på det. For eksempel, efter praksis, er mange matematikere i stand til at identificere, at udtrykket 4x² + 4x + 1 har faktorerne (2x + 1) og (2x + 1) efter at have arbejdet meget med dette udtryk tidligere. Men det bliver selvfølgelig ikke så let med de mere komplicerede polynomier. I dette eksempel bruger vi et mindre almindeligt udtryk:

3x² + 2x - 8

Trin 1. Angiv faktorerne for udtryk a og c

Brug standard -øksformatet² + bx + c = 0, identificere udtrykkene for a og c og angive deres faktorer. Til 3x² + 2x - 8, dette betyder:

a = 3 og har et sæt faktorer: 1 * 3

c = -8 og har fire sæt faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.

Trin 2. Saml to sæt tomme parenteser

Du vil fylde dem med konstanterne i hvert udtryk:

(x) (x)

Trin 3. Udfyld mellemrummene foran x'erne med et par mulige faktorer for a -værdien

For udtryk a i det anvendte eksempel er 3x², der er kun en mulighed:

(3x) (1x)

Trin 4. Udfyld de to mellemrum efter x'erne med et par faktorer for konstanterne

Antag, at du vælger tallene 8 og 1. Skriv dem ned:

(3x

Trin 8.)(

Trin 1

Trin 5. Beslut, hvilke tegn (addition eller subtraktion) der skal gå mellem variablerne på x og tallene

Afhængigt af tegnene i det originale udtryk er det muligt at finde ud af, hvad tegnene på konstanterne skal være. Lad os kalde de to konstanter for de to faktorer h og k:

hvis x² + bx + c, derefter (x + h) (x + k)

hvis x² - bx - c eller ax² + bx - c, derefter (x - h) (x + k)

hvis x² - bx + c, derefter (x - h) (x - k)

For eksempel 3x² + 2x - 8, skal tegnene være: (x - h) (x + k), hvilket resulterer i de to faktorer:

(3x + 8) og (x - 1)

Trin 6. Test valgmulighederne ved hjælp af den distribuerende egenskab

En hurtig første test, der skal køres, er at se, om middeltermerne matcher de korrekte værdier. Hvis ikke, har du muligvis valgt de forkerte faktorer for c. Lad os teste svaret:

(3x + 8) (x - 1)

Når du udfører multiplikationen, får du:

3x² - 3x + 8x - 8

Ved at forenkle dette udtryk med summen af lignende udtryk (-3x) og (8x) får du:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Nu ved vi, at vi skal identificere de forkerte faktorer:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

Trin 7. Skift om nødvendigt faktorer

I det anvendte eksempel, lad os prøve at bruge 2 og 4 i stedet for 1 og 8:

(3x + 2) (x - 4)

Nu er c -udtrykket lig med -8, men det ydre/indre produkt (3x * -4) og (2 * x) er lig med -12x og 2x, som ikke vil blive kombineret for at skabe det korrekte b -udtryk på +2x.

-12x + 2x = 10x

10x ≠ 2x

Trin 8. Vend om nødvendigt ordren

Lad os prøve at flytte 2 og 4:

(3x + 4) (x - 2)

Nu er c -udtrykket (4 * 2 = 8) stadig korrekt, men de ydre/indre produkter er -6x og 4x. Ved at kombinere dem:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Vi er tæt på 2x, men signalet er forkert.

Trin 9. Kontroller om nødvendigt skiltene

Behold den samme rækkefølge, men skift den med minustegnet:

(3x - 4) (x + 2)

Nu er c-udtrykket stadig korrekt, men de ydre/indre produkter er (6x) og (-4x). Synes godt om:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Det er nu muligt at genkende det positive udtryk 2x fra det oprindelige problem. Det skal være de rigtige faktorer.

Metode 2 af 6: Nedbrydning

Denne metode identificerer alle de mulige faktorer for udtrykkene a og c og bruger dem til at finde ud af, hvad faktorerne skal være. Hvis tallene er for store, eller de andre metoder virker mere komplicerede, skal du bruge denne metode. Lad os bruge eksemplet:

6x² + 13x + 6

Trin 1. Multiplicer udtrykkene a og c

I dette eksempel er begge lig med 6.

6 * 6 = 36

Trin 2. Find værdien af udtryk b ved factoring og test

Du skal finde to tal, der er faktorer for produktet af a * c og også svarer til udtrykket b (13), når de lægges sammen.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Trin 3. Erstat de to tal, der er opnået i ligningen, som summen af udtrykket b

Lad os bruge k og h til at repræsentere de to tal, vi får, 4 og 9:

økse² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Trin 4. Faktor polynomet gennem gruppering

Arranger ligningen, så du kan udregne den største fælles faktor for de to første og sidste to udtryk. Begge faktoriserede grupper skal være ens. Tilføj de største fælles faktorer, og placer dem i parentes ved siden af den faktoriserede gruppe; resultatet vil være de to faktorer:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metode 3 af 6: Triple Match

I lighed med nedbrydning undersøger metoden "triple-start" de mulige faktorer for produkterne af udtrykkene a og c og bruger dem derefter til at finde værdien af b. Som et eksempel kan du overveje følgende ligning:

8x² + 10x + 2

Trin 1. Multiplicer udtrykkene a og c

Dette hjælper dig med at identificere mulighederne for b -udtrykket samt nedbrydningsmetoden. I dette eksempel er a lig med 8 og c er lig med 2.

8 * 2 = 16

Trin 2. Find to tal med de tal, hvis produkt og sum svarer til udtrykket b

Dette trin er identisk med nedbrydningsmetoden - du skal teste og afvise kandidater for konstanter. Produktet af udtrykkene a og c er 16, og udtrykket c er lig med 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Trin 3. Tag disse to tal, og test deres substitution i formlen "triple match"

Tag de to tal fra det foregående trin - lad os kalde dem h og k - og sæt dem i dette udtryk:

((ax + h) (ax + k)) / a

I dette tilfælde får vi:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Trin 4. Se, hvilket af de to udtryk i tælleren, der er lige deleligt med a

I dette eksempel tester vi, om (8x + 8) eller (8x + 2) kan divideres med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så lad os dele dette udtryk med a og lade de andre være, som de er.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Udtrykket, vi gemmer i dette tilfælde, er resten af divisionen med udtrykket a: (x + 1)

Trin 5. Tag den største fælles faktor for en eller begge termer, hvis nogen

I dette eksempel har det andet udtryk tallet 2 som sin største fælles faktor, da 8x + 2 = 2 (4x + 1). Match dette svar med udtrykket identificeret i det foregående trin. Dette er faktorerne i ligningen.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metode 4 af 6: Forskel på to rødder

Nogle koefficienter i polynomier kan identificeres som "rødder" eller et produkt af to tal. Ved at identificere disse rødder kan du faktorere polynom meget hurtigere. Overvej ligningen:

27x² - 12 = 0

Trin 1. Faktor i den største fælles faktor, hvis det er muligt

I dette tilfælde kan vi se, at 27 og 12 begge er delelige med 3, så lad os adskille dem:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Trin 2. Identificer, om ligningens koefficienter er kvadratiske tal

For at bruge denne metode skal du være i stand til at få den nøjagtige kvadratrod af termer. Bemærk, at minustegnene er udeladt, da disse tal er firkanter, der kan være produkter af to positive eller negative tal.

9x² = 3x * 3x og 4 = 2 * 2

Trin 3. Med de identificerede kvadratrødder nedskrives faktorerne

Tag værdierne for a og c fra ovenstående trin (a = 9 og c = 4) og bereg deres kvadratrødder - √ a = 3 og √ c = 2. De vil være faktorkoefficienterne for udtrykkene:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 af 6: Kvadratisk formel

Hvis de andre metoder mislykkes, og ligningen ikke er jævnt indregnet, skal du bruge den kvadratiske formel. Overvej følgende eksempel:

x² + 4x + 1 = 0

Trin 1. Erstat de tilsvarende værdier i den kvadratiske formel:

x = -b ± √ (b² - 4c)

2.

Vi får udtrykket:

x = -4 ± √ (4² - 4•1•1) / 2

Trin 2. Beregn værdien af x

Du skal få to værdier for x. Som vist ovenfor får vi to svar:

x = -2 + √ (3) eller x = -2 -√ (3)

Trin 3. Brug x -værdierne til at beregne faktorerne

Erstat x -værdierne. De vil være faktorerne. Hvis vi identificerer de to svar som h og k, skal vi skrive faktorerne som følger:

(x - h) (x - k)

I dette tilfælde er det endelige svar:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metode 6 af 6: Brug af en lommeregner

Hvis det er muligt at bruge det, gør en grafisk lommeregner factoringprocessen meget lettere, især i test. Følgende instruktioner er til en grafisk lommeregner. Overvej følgende eksempel:

y = x² - x - 2

Trin 1. Indtast ligningen i lommeregneren

Du vil bruge en ligningsløser, også kendt som en [Y =] skærm.

Trin 2. Tegn ligningen på lommeregneren

Når du har indtastet ligningen, skal du trykke på [GRAPH] -tasten - du skal se en bue, der repræsenterer ligningen (og det vil være en bue, da vi har at gøre med polynomier).

Trin 3. Se, hvor buen skærer x -aksen

Da polynomligninger normalt skrives som øks² + bx + c = 0, det er de to værdier af x, der gør udtrykket lig med nul:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Hvis du ikke kan identificere, hvor grafen krydser x-aksen, skal du trykke på [2.] og derefter [SPOR]. Tryk på [2], eller vælg "nul". Skub markøren til venstre for krydset, og tryk på [ENTER]. Skub markøren til højre for skæringspunktet, og tryk på [ENTER]. Skub markøren så tæt på skæringspunktet, og tryk på [ENTER]. Regnemaskinen finder værdien af x. Gør det samme for det andet kryds

Trin 4. Erstat x -værdierne opnået i det foregående trin i to faktorudtryk

Når du bruger de to værdier på x (h og k), vil det anvendte udtryk være:

(x - h) (x - k) = 0

Derfor skal de to faktorer være:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

• Hvis du har en TI-84 (grafik) lommeregner, er der et program kaldet "SOLVER", der løser en kvadratisk ligning. Det løser også polynomer af andre grader.
• Hvis der ikke findes et udtryk, er koefficienten 0. Det kan være nyttigt at omskrive ligningen, hvis den f.eks. Gør det: x² + 6 = x² + 0x + 6.
• Hvis du indregnede et polynom ved hjælp af den kvadratiske formel og fik svar med radikaler, skal du konvertere x -værdierne til brøker for at tjekke dem.
• Hvis udtrykket ikke har en skriftlig koefficient, vil det være 1, det vil sige x² = 1x².
• Efter meget øvelse vil du i sidste ende kunne udregne polynomer i dit hoved. Indtil da skriver du dem ned på papir.