Sådan deles matricer (med billeder)

2023 Forfatter: Barbara Vance | [email protected]. Sidst ændret: 2023-11-27 00:41

At vide, hvordan man multiplicerer to matricer, er allerede halvvejs til at lære at "dele" en matrix med en anden. Ordet "split" er skrevet med anførselstegn, fordi arrays teknisk set ikke kan opdeles. I stedet skal du gange den ene matrix med den invers af den anden. Hvis dette lyder mærkeligt, skal du overveje denne idé i form af mere almindelige matematiske begreber: i stedet for at beregne 10 ÷ 5 kan du tage inversen af 5 (5^-1 eller ¹/₅), beregne 10 x 5^-1 og få det samme svar. Derfor betragtes multiplikation med inversen af en matrix som den nærmeste proces til division i denne gren af matematik. Disse beregninger bruges normalt til at løse systemer med lineære ligninger.

Hurtig guide

1. Der er ingen definition på matrixopdeling. I stedet multipliceres den første matrix med den invers af den anden. Omskriv problem [A] ÷ [B] som [A] * [B]^-1 eller [B]^-1 * [A].
2. Hvis matrixen [B] ikke er firkantet, eller hvis dens determinant er lig med nul, skal du skrive "der er ingen enkelt løsning". Ellers skal du finde determinanten for [B] og fortsætte med det næste trin.
3. Beregn værdien af [B]^-1 (omvendt af [B]).

4. Multiplicer matricerne for at beregne [A] * [B]^-1 eller [B]^-1 * [A]. Vær opmærksom på, at dette ikke nødvendigvis vil resultere i det samme svar.

   trin

   Del 1 af 3: Bekræftelse af, at "division" er mulig

   

   Trin 1. Forstå matrixen "split"

   Teknisk set eksisterer et sådant begreb ikke. At dele en matrix med en anden er en udefineret funktion. Den nærmeste ækvivalent er multiplikation med inversen af en anden matrix. Med andre ord, selvom [A] ÷ [B] ikke er defineret, er det muligt at beregne [A] * [B]^-1. Da de to ligninger ville være ækvivalente i skalær størrelse, ligner dette matrixopdeling, men det er vigtigt at bruge den korrekte terminologi.

   • Bemærk, at [A] * [B]^-1 og [B]^-1 *[A] er ikke det samme problem. Du skal muligvis beregne begge for at finde mulige løsninger.

   • For eksempel, i stedet for (13263913) ÷ (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 / 39 & 13 / end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 / 2 & 3 / end {pmatrix}}}

     escreva (13263913)∗(7423)−1{displaystyle {begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}}

     Você também pode precisar calcular (7423)−1∗(13263913){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}^{-1}*{begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}}

     que pode ter uma resposta diferente.

   

   Trin 2. Kontroller, at "divider matrix" er firkantet

   For at få det inverse af en matrix skal den være firkantet med det samme antal rækker og kolonner. Ellers er der ikke en enkelt løsning på problemet.

   • Udtrykket "delende matrix" er lidt uklart, da det teknisk set ikke er et delingsproblem. Til [A] * [B]^-1, dette refererer til matrixen [B]. I det anvendte eksempel er det matrix (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 / 2 & 3 / end {pmatrix}}}

   • .
   • En matrix, der har en invers, kaldes a">

   

   Trin 3. Kontroller, om to matricer kan multipliceres sammen

   For at gøre dette skal antallet af kolonner i den første matrix svare til antallet af rækker i den anden matrix. Hvis det ikke virker i nogen af indstillingerne ([A] * [B]^-1 eller [B]^-1 * [A]), så har problemet ingen løsning.

   • For eksempel, hvis [A] er en 4 x 3 matrix og [B] er en 2 x 2 matrix, så er der ingen løsning. [A] * [B]^-1 kan ikke beregnes siden 4 ≠ 2, og [B]^-1 * [A] heller ikke, siden 2 ≠ 3.
   • Bemærk, at den inverse af [B]^-1 den har altid det samme antal rækker og kolonner som den originale matrix [B]. Det er ikke nødvendigt at beregne det inverse for at fuldføre dette trin.
   • I det anvendte eksempel er begge matricer 2 x 2, så de kan multipliceres i enhver rækkefølge.

   

   Trin 4. Find determinanten for en 2 x 2 matrix

   Der er endnu et krav at kontrollere, før du kan få det inverse af en matrix. Hendes determinant kan ikke være nul. Ellers vil matrixen ikke have en invers. Sådan finder du determinanten i det enkleste tilfælde, en 2 x 2 matrix:

   • 2 x 2 matrix:

     determinanten for (abcd) { displaystyle { begin {pmatrix} a & b / c & d / end {pmatrix}}}

     é ad - bc. Em outras palavras, pegue o produto da diagonal principal (do canto superior esquerdo para ao canto inferior direito), depois subtraia o produto da diagonal inversa (do canto superior direito para ao canto inferior esquerdo).

   • Por exemplo, a matriz (7423){displaystyle {begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}}

   tem o determinante (7)(3) - (4)(2) = 21 - 8 = 13. Ele não é o número zero, então é possível encontrar o inverso.

   

   Trin 5. Find determinanten for en større matrix

   Hvis matrixen er 3 x 3 eller større, er der brug for lidt mere arbejde for at finde determinanten:

   • 3 x 3 matrix: vælg et hvilket som helst element, og kryds den række og kolonne, det tilhører. Find determinanten for den resterende 2 x 2 matrix, gang den med det valgte element, og se på matrixgrafens tegn for at bestemme tegnet. Gentag dette trin for de næste to elementer i samme række eller kolonne som det første valgte element, og tilføj derefter de tre determinanter sammen. Læs denne artikel for trin-for-trin instruktioner og tips til, hvordan du fremskynder denne proces.
   • større matricer: Det anbefales at bruge en grafregner eller software. Metoden ligner 3 x 3 matrixen, men det tager længere tid at gøre det i hånden. For eksempel, for at finde determinanten for en 4 x 4 matrix, skal du finde determinanterne for fire 3 x 3 matricer.

   

   Trin 6. Fortsæt

   Hvis matrixen ikke er firkantet, eller hvis dens determinant er lig med nul, skal du skrive "der er ingen enkelt løsning". Problemet er fuldstændigt. Hvis matrixen er firkantet og har en nul -determinant, skal du gå videre til det næste afsnit for at lære det næste trin: at finde det inverse.

   Del 2 af 3: Invertering af en matrix

   

   Trin 1. Skift positionerne for de 2 x 2 hoveddiagonale elementer

   Hvis matrixen er 2 x 2, kan du bruge en genvej til at gøre denne beregning meget lettere. Det første trin i denne genvej involverer udskiftning af det øverste venstre hjørneelement med det nederste højre hjørneelement. For eksempel:

   • (7423) { displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 / 2 & 3 / end {pmatrix}}}

     → (3427){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\\2&7\end{pmatrix}}}

   • Observação:

     a maioria das pessoas usa uma calculadora para encontrar o inverso de uma matriz 3 x 3 ou maior. Se quiser fazer o cálculo à mão, consulte o final da seção.

   

   Trin 2. Tag det modsatte af de to andre elementer, men lad dem stå på plads

   Med andre ord ganges elementerne i det øverste "højre" og nederste "venstre" hjørne med -1:

   • (3427) { displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 / 2 & 7 / end {pmatrix}}}

     → (3−4−27){displaystyle {begin{pmatrix}3&-4\\-2&7\end{pmatrix}}}

   

   Trin 3. Tag det gensidige af determinanten

   Du fandt determinanten for denne matrix i afsnittet ovenfor, så du behøver ikke at gøre det igen. Skriv bare den gensidige 1 / (determinant):

   • I eksemplet er determinanten 13. Dens gensidige er 113 { displaystyle { frac {1} {13}}}

   

   Trin 4. Multiplicer den nye matrix med det reciprokke af determinanten

   Gang hvert element i den nye matrix med den nyberegnede gensidige. Den resulterende matrix er den inverse af 2 x 2 matrix:

   • 113 ∗ (3−4−27) { displaystyle { frac {1} {13}}*{ begin {pmatrix} 3 & -4 \-2 & 7 / end {pmatrix}}}

     =(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}

   

   Trin 5. Kontroller, om inversionen er korrekt

   For at gøre dette skal du gange det inverse med den originale matrix. Hvis det omvendte er korrekt, er produktet altid identisk med matrixen, (1001) { displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 / 0 & 1 / end {pmatrix}}}

   . Se estiver tudo certo, continue com a próxima seção para terminar o problema.

   • Para o exemplo utilizado, multiplique (313−413−213713)∗(7423)=(1001){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}7&4\\2&3\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
   • Veja o artigo Como Multiplicar Matrizes caso precise de ajuda.
   • Observação: a multiplicação de matriz não é comutativa, ou seja, a ordem dos fatores influencia no resultado. No entanto, ao multiplicar uma matriz pelo seu inverso, ambas as opções vão resultar na matriz identidade.

   

   Trin 6. Se i denne artikel, hvordan du vender en 3x3 eller større matrix

   Medmindre du lærer denne proces for første gang, kan du spare tid ved at bruge en grafregner eller matematiksoftware til at lave matematik med større matricer. Hvis du ikke behøver at foretage beregningen i hånden, kan du se en hurtig vejledning til en metode:

   • Placer identitetsmatrix I til højre for din matrix. For eksempel [B] → [B | JEG]. Identitetsmatricen har et "1" -element sammen med hoveddiagonalen og et "0" -element uden alle andre positioner.
   • Udfør inline -operationer for at reducere matrixen, indtil venstre side er i skaleret form, og fortsæt derefter reduktionen, indtil venstre side er identisk med identitetsmatrixen.
   • Ved afslutningen af operationen vil matrixen være i formen [I | B^-1]. Med andre ord vil den højre side være den omvendte af den originale matrix.

   Del 3 af 3: Multiplicering af matricerne for at fuldføre problemet

   

   Trin 1. Skriv de to mulige ligninger

   I "almindelig matematik" med skalære størrelser er multiplikation kommutativ; 2 x 6 = 6 x 2. Det samme gælder dog ikke for matricer, så du skal beregne to problemer:

   • [A] * [B]^-1 er løsningen x til problem x [B] = [A].
   • [B]^-1 * [A] er løsningen x til problem [B] x = [A].
   • Hvis dette er en del af en ligning, skal du udføre den samme operation på begge sider. Hvis [A] = [C], så [B]^-1[DET] ikke er lig med [C] [B]^-1, fordi [B]^-1 det er på venstre side af [A], men på højre side af [C].

   

   Trin 2. Find svarets dimensioner

   Dimensionerne af den endelige matrix er de to faktorers ydre dimensioner. Den har samme antal rækker som den første matrix og det samme antal kolonner som den anden matrix.

   • Tilbage til det oprindelige problem, begge (13263913) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 / 39 & 13 / end {pmatrix}}}

     quanto (313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}

     são matrizes 2 x 2, então as dimensões da resposta também serão 2 x 2.

   • Para usar um exemplo mais complicado, se [A] é uma matriz

     Passo 4. x 3 e [B]^-1 é uma matriz 3

     Passo 3., então a matriz [A] * [B]^-1 possui dimensões 4 x 3.

   

   Trin 3. Beregn værdien af det første element.

   Se artiklen linket ovenfor for mere detaljerede instruktioner, eller opdater din hukommelse med følgende resumé:

   • Sådan finder du række 1 og kolonne 1 i [A] [B]^-1, find prikproduktet i række [A] 1 og kolonne [B]^-1 2. Det vil sige for en 2 x 2 matrix, beregne a1, 1 ∗ b1, 1+a1, 2 ∗ b2, 1 { displaystyle a_ {1, 1}*b_ {1, 1}+a_ {1, 2 }*b_ {2, 1}}

   • No exemplo utilizado (13263913)∗(313−413−213713){displaystyle {begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}}

   a linha 1 coluna 1 da resposta é:

   (13∗313)+(26∗−213){displaystyle (13*{frac {3}{13}})+(26*{frac {-2}{13}})}

   =3+−4{displaystyle =3+-4}

   =−1{displaystyle =-1}

   

   Trin 4. Gentag punktproduktprocessen for hver position i matrixen

   For eksempel er elementet i position 2, 1 prikproduktet i række [A] 2 og kolonne [B]^-1 1. Prøv selv at fuldføre eksemplet. Du skal få følgende svar:

   • (13263913) ∗ (313−413−213713) = (- 1107−5) { displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 / 39 & 13 / end {pmatrix}}*{ begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 / 7 & -5 / end {pmatrix}}}
   • caso precise encontrar outra solução, (313−413−213713)∗(13263913)=(−92193){displaystyle {begin{pmatrix}{frac {3}{13}}&{frac {-4}{13}}\\{frac {-2}{13}}&{frac {7}{13}}\end{pmatrix}}*{begin{pmatrix}13&26\\39&13\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}-9&2\\19&3\end{pmatrix}}}

   dicas

   • você pode dividir uma matriz por uma grandeza escalar dividindo cada elemento da matriz pela grandeza.

     • por exemplo, a matriz (6824){displaystyle {begin{pmatrix}6&8\\2&4\end{pmatrix}}}

     dividida por 2 = (3412){displaystyle {begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}}

   avisos

   • as calculadoras nem sempre são 100% precisas no que diz respeito aos cálculos de matrizes. por exemplo, se a calculadora informa que um elemento é um número muito pequeno (2e^-8, por exemplo), é provável que o valor seja zero.