At lære at forenkle algebraiske udtryk er et vigtigt krav for at mestre grundlæggende algebra, såvel som at være et ekstremt værdifuldt værktøj for alle matematikere. Forenkling gør det muligt for en matematiker at lave komplekse, lange eller upassende udtryk til enklere eller mere bekvemme former, mens den stadig er ækvivalent. Grundlæggende forenkling er ret let at lære - selv for dem, der ikke er matematikinteresserede. Ved at følge et par enkle trin er det muligt at forenkle mange af de mest almindelige typer af algebraiske udtryk uden at have nogen form for matematisk viden. Læs trin 1 for at komme i gang!
trin
Forståelse af vigtige begreber
Trin 1. Definer "relaterede termer" efter variabler og beføjelser
I algebra har "affin tal" den samme konfiguration af variabler, der hæves til de samme kræfter. Med andre ord, for at to udtryk skal være "affin", skal de have de samme variabler eller slet ingen, og hver af dem skal hæves til den samme magt eller slet ingen. Variablernes rækkefølge inden for udtrykket er ligegyldigt.
- For eksempel 3x2 og 4x2 de er beslægtede udtryk, fordi hver af dem indeholder variablen x hævet til den anden effekt. Imidlertid x og x2 de er ikke beslægtede termer, da hver har x rejst til en anden magt. Tilsvarende er -3yx og 5xz ikke relaterede udtryk, fordi de hver har et særskilt sæt variabler.
Trin 2. Faktor ved at skrive tal som et produkt af to faktorer
Faktorisering er begrebet at repræsentere et givet tal som et produkt af to faktorer ganget sammen. Tal kan have mere end et sæt faktorer - for eksempel kan tallet 12 dannes af 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så du kan erklære, at 1, 2, 3, 4, 6 og 12 de er alle faktorer af 12. En anden måde at tænke på er, at faktorerne i et tal er de tal, hvormed det er lige deleligt.
- For eksempel, hvis vi vil faktor 20, kan vi skrive det som 4×5.
- Bemærk, at variable udtryk også kan indregnes. -20x kan for eksempel skrives som 4 (-5x).
- Primtal kan ikke regnes med, fordi de kun er delelige af dem selv og 1.
Trin 3. Brug forkortelsen PEMDAS til at huske rækkefølgen af operationer
Af og til betyder forenkling af et udtryk ikke andet end at udføre operationer på dette udtryk, indtil det ikke længere er muligt. I sådanne tilfælde er det vigtigt at huske rækkefølgen af operationer for ikke at lave aritmetiske fejl. Akronymet PEMDAS kan være en stor hjælp, når du skal huske rækkefølgen af operationer - bogstaverne svarer til de typer operationer, der skal udføres, for at:
- TILseler.
- OGeksponenter.
- Mmultiplikation.
- Division.
- DETudgave.
- ssubtraktion.
Metode 1 af 3: Kombination af relaterede termer
Trin 1. Skriv din ligning
De enkleste algebraiske ligninger, dem der kun involverer et par variable udtryk med heltalskoefficienter og ingen brøker, radikaler osv., Kan ofte løses i få trin. Som med de fleste matematiske problemer er det første trin i at forenkle ligningen at skrive det ned!
- Som et eksempelproblem vil vi i de næste trin overveje udtrykket 1+2x-3+4x.
Trin 2. Identificer relaterede termer
Søg derefter i din ligning efter relaterede termer. Husk, at lignende udtryk har både de samme variabler og de samme eksponenter.
- Lad os f.eks. Identificere relaterede termer i ligningen 1+2x-3+4x. Både 2x og 4x har den samme variabel hævet til den samme eksponent (i dette tilfælde er x'erne ikke hævet til nogen effekt). Derudover er 1 og -3 relaterede udtryk, da ingen af dem har variabler. Så i vores ligning, 2x og 4x og 1 og -3 er beslægtede udtryk.
Trin 3. Kombiner relaterede termer
Nu hvor du har identificeret relaterede termer, kan du kombinere dem for at forenkle ligningen. Tilføj termerne sammen (eller træk dem til negative udtryk) for at reducere hvert sæt sæt med variabler og eksponenter, der er lig med et ental.
-
Lad os tilføje relaterede termer i vores eksempel:
- 2x+4x = 6x.
- 1+(-3) = - 2.
Trin 4. Opret et forenklet udtryk ud fra dine forenklede termer
Efter at have kombineret dine relaterede udtryk, skal du opbygge et udtryk fra dit sæt nye og forenklede termer. Du bør få et enklere udtryk med en betegnelse for hvert forskellige sæt variabler og eksponenter i det originale udtryk. Dette nye udtryk er det samme som det første.
- I vores eksempel er de forenklede udtryk 6x og -2, så det nye udtryk vil være 6x-2. Dette forenklede udtryk er det samme som originalen (1+2x-3+4x), men mindre og lettere at løse. Det er også lettere at faktorere, hvilket, som vi vil se næste, er en anden vigtig færdighed i forenkling.
Trin 5. Overhold rækkefølgen af operationer, når du kombinerer relaterede termer
I ekstremt enkle udtryk som det i det foregående eksempel er det let at identificere udtryk. I mere komplekse udtryk, såsom dem, der involverer udtryk i parenteser, brøker og radikaler, er relaterede udtryk, der kan kombineres, muligvis ikke umiddelbart synlige. I disse tilfælde skal du følge rækkefølgen af operationer, udføre operationer på udtrykkene i udtrykket efter behov, indtil der kun er addition og subtraktion tilbage.
-
Overvej f.eks. Ligningen 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x. Det ville være forkert med det samme at identificere 3x og 2x som relaterede termer og kombinere dem på trods af parenteserne, da vi først skal udføre andre operationer. I første omgang udfører vi aritmetiske operationer på udtrykket i henhold til rækkefølgen af operationer for at få termer, vi kan bruge. Se nedenunder:
- 5 (3x-1)+x (2x/2)+8-3x.
- 15x-5+x (x)+8-3x.
-
15x-5+x2.
Da der kun er additions- og subtraktionsoperationer tilbage, kan vi kombinere de relaterede termer
- x2+12x+3.
Metode 2 af 3: Factoring
Trin 1. Identificer den største fælles divisor i udtrykket
Factoring er en måde at forenkle udtryk ved at fjerne fælles faktorer fra udtryksbetingelser. Find til at begynde med den største fælles divisor, som alle udtrykkene i udtrykket deler - med andre ord det største antal, som alle udtrykkene i udtrykket er lige delelige med.
-
Lad os bruge 9x -ligningen2+27x-3. Bemærk, at alle termer i ligningen er delelige med 3. Da udtrykkene ikke er lige delelige med et andet større tal, kan vi bestemme, at
Trin 3. er den største fælles divisor i udtrykket.
Trin 2. Opdel udtryksbetegnelserne med den største fælles divisor
Dernæst dividerer du hvert udtryk i ligningen med den største fælles divisor, der findes. De resulterende udtryk vil have lavere koefficienter end i det originale udtryk.
-
Lad os faktorere vores ligning med dens største fælles divisor, 3. For at gøre dette deler vi hvert udtryk med 3.
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
-
-3/3 = -1
- Så vores nye udtryk er 3x2+9x-1.
Trin 3. Plot dit udtryk som produktet af den største fælles divisor og de resterende termer
Det nye udtryk er ikke det samme som det forrige, det vil sige, det kan ikke siges, at det er forenklet. For at gøre det lig med det forrige er det nødvendigt at bemærke det faktum, at det blev delt med den største fælles divisor. Omslut dit udtryk i parentes og indstil den største fælles divisor for den originale ligning som koefficienten for udtrykket i parentes.
- I tilfælde af vores eksempeludtryk er 3x2+9x-1, vi lukker udtrykket i parentes og multiplicerer det med den største fælles divisor i den originale ligning for at få 3 (3x2+9x-1). Denne ligning er den samme som originalen, 9x2+27x-3.
Trin 4. Brug faktorisering til at forenkle brøker
Du kan nu undre dig over, hvorfor faktorisering er nyttig, hvis det nye udtryk efter at have fjernet den største fælles divisor skal ganges med det igen. Faktorisering gør det muligt for en matematiker at udføre en række tricks, når han forenkler et udtryk. En af de enkleste involverer at drage fordel af det faktum, at multiplicering af tæller og nævner af en brøk med det samme tal vil give en ækvivalent brøk. Se nedenunder:
-
Lad os sige vores originale eksempeludtryk, 9x2+27x-3, være tælleren for en større brøk med 3 i nævneren. Denne brøkdel ville se sådan ud: (9x2+27x-3)/3. Vi kan bruge faktorisering til at forenkle denne brøk:
- Vi erstatter den fakturerede form af vores originale udtryk med udtrykket i tælleren: [3 (3x2+9x-1)]/3.
- Bemærk, at både tæller og nævner deler koefficient 3. Ved at dele begge med 3 får vi: (3x3+9x-1)/1.
- Da hver brøk, der har "1" i nævneren, er lig med udtrykkene i tælleren, kan vi sige, at den oprindelige brøk kan forenkles til 3x2+9x-1.
Metode 3 af 3: Anvendelse af yderligere forenklingskompetencer
Trin 1. Forenkle brøker ved at dividere fælles faktorer
Som nævnt ovenfor, hvis tæller og nævner for et udtryk deler faktorer, kan disse faktorer helt fjernes fra fraktionen. Nogle gange vil dette kræve faktorisering af tælleren, nævneren eller begge (som det var tilfældet beskrevet ovenfor), mens på andre tidspunkter vil de delte faktorer let fremgå. Bemærk, at det også er muligt at dividere tællerudtrykkene med udtrykket i nævneren individuelt for at opnå et forenklet udtryk.
-
Lad os tage et eksempel, der ikke nødvendigvis kræver øjeblikkelig faktorisering. I tilfælde af brøk (5x2+10x+20)/10, kan vi måske dividere hvert udtryk i tælleren med tallet 10 i nævneren for at forenkle det, selvom koefficienten "5" i 5x2 er ikke større end 10 og kan derfor ikke have 10 som deler.
- Hvis du gør det, kommer vi til resultatet [(5x2)/10]+x+2. Hvis vi foretrækker det, kan vi omskrive det første udtryk med (1/2) x2 for at få resultatet (1/2) x2+x+2.
Trin 2. Brug firkantede faktorer til at forenkle radikaler
Udtryk under kvadratrodssymbolet kaldes radikale udtryk. De kan forenkles ved at identificere kvadratfaktorer (faktorer, der er firkanter for et givet tal) og udføre kvadratrodsoperationen på dem separat for at fjerne dem fra under kvadratrodstegnet.
-
Lad os tage følgende eksempel: √ (9). Hvis vi tænker på tallet 90 som et produkt af to af dets faktorer, 9 og 10, kan vi tage kvadratroden af 9 for at få heltalet 3 og fjerne det fra radikalen. Med andre ord:
- √(90).
- √(9×10).
- [√(9)×√(10)].
- 3×√(10).
- 3√10.
Trin 3. Tilføj eksponenter ved at gange to eksponentielle termer; trække dem ved at dividere disse vilkår
Nogle algebraiske udtryk kræver multiplikation eller division af eksponentielle udtryk. I stedet for at beregne hvert eksponentielt udtryk og multiplicere eller dividere i hånden, skal du blot tilføje eksponenter ved multiplikation og trække dem fra ved deling for at spare tid. Dette koncept kan også bruges til at forenkle variable udtryk.
-
Overvej f.eks. Udtrykket 6x3× 8x4+(x17/x15). Ved hver lejlighed, hvor det er nødvendigt at multiplicere eller dividere med eksponenter, vil vi henholdsvis trække eller tilføje for hurtigt at finde et forenklet udtryk. Se nedenunder:
- 6x3× 8x4+(x17/x15)
- (6 × 8) x3+4+(x17-15)
- 48x7+x2
-
Grunden til at dette virker er som følger:
- Multiplikation af eksponentielle termer er i det væsentlige som at multiplicere lange strenge af ikke-eksponentielle termer. For eksempel, da x3 = x × x × x og x5 = x × x × x × x × x, x3× x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) eller x8
- På samme måde er opdeling af eksponentielle termer som at opdele lange strenge af ikke-eksponentielle termer. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Da hvert udtryk i tælleren kan annulleres af et kombineret udtryk i nævneren, står vi tilbage med to x i tælleren og ingen i nævneren og får svaret x2.
Tips
- Husk altid, at du skal tænke på disse tal som plus- eller minustegn. Mange mennesker har svært ved at tænke “Hvilket tegn skal jeg sætte her?”
- Spørg om hjælp, når det er nødvendigt!
- Det er ikke let at forenkle algebraiske udtryk, men når du får styr på det, vil du gøre brug af denne færdighed i hele dit liv.
Opslag
- Se altid efter relaterede termer og lad dig ikke narre af eksponenter.
- Tilføj ikke ved et uheld et tal, eksponent eller operation, der ikke hører hjemme i udtrykket.
