To fraktioner betragtes som ækvivalente, når de har samme værdi. At vide, hvordan man konverterer en brøkdel til en ækvivalent, er en vigtig matematikfærdighed, der bruges fra grundlæggende algebra til avanceret beregning. Denne artikel vil dække forskellige måder at beregne ækvivalente brøker på, fra grundlæggende multiplikation og division til mere komplekse metoder til løsning af problemer.
trin
Metode 1 af 5: Dannelse af ækvivalente fraktioner
Trin 1. Multiplicer tælleren og nævneren med det samme tal
To forskellige, men ækvivalente brøker har pr. Definition tællere og nævnere, der er multipler af hver. Med andre ord vil multiplikation af tæller og nævner af en brøk med det samme tal frembringe en ækvivalent brøk. Selvom tallene i den nye brøkdel er forskellige, vil brøkerne have den samme værdi.
- For eksempel, hvis vi tager brøkdelen 4/8 og gange både tæller og nævner med 2, får vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Disse to fraktioner er ækvivalente.
- (4 × 2)/(8 × 2) er i det væsentlige lig med 4/8 × 2/2. Husk, at når vi multiplicerer to brøker, multiplicerer vi på tværs, det vil sige tæller til tæller og nævner til nævner.
- Bemærk, at 2/2 er lig med 1, når divisionen udføres. Så det er let at se, hvorfor 4/8 og 8/16 er ækvivalente, da multiplicering af 4/8 × (2/2) = 4/8. Det samme kan siges om 4/8 = 8/16.
- Enhver brøk har et uendeligt antal ækvivalente brøker. Du kan gange tælleren og nævneren med et hvilket som helst helt tal, uanset hvor stort eller småt, for at få en ækvivalent brøk.
Trin 2. Divider tælleren og nævneren med det samme tal
Som ved multiplikation kan division også bruges til at finde en ny brøk, der svarer til den oprindelige brøk. Divider blot tælleren og nævneren af en brøk med det samme tal for at få en ækvivalent brøk. Der er et punkt i denne proces - den resulterende brøkdel skal have heltal i både tæller og nævner for at blive betragtet som gyldig.
Lad os f.eks. Se på 4/8 brøkdelen igen. Hvis vi i stedet for at multiplicere både tæller og nævner med 2, får vi (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. Både 2 og 4 er hele tal, så denne ækvivalente brøk er gyldig
Metode 2 af 5: Brug af grundlæggende multiplikation til at bestemme ækvivalens
Trin 1. Find det tal, hvormed den mindste nævner skal multipliceres for at generere den største nævner
Mange brøkrelaterede problemer indebærer at afgøre, om to brøker er ækvivalente. Når du beregner dette tal, kan du begynde at sætte begge brøker på lige vilkår for at bestemme ækvivalens.
- Tag f.eks. 4/8 og 8/16 fraktionerne igen. Den mindste nævner, 8, og vi skulle multiplicere dette tal med 2 for at gøre det til det største, som er 16. Så tallet i dette tilfælde er 2.
- For vanskeligere tal er det muligt blot at dividere den største nævner med den mindste. I dette tilfælde divideres 16 med 8, hvilket resulterer i 2.
- Tallet er ikke altid et helt tal. For eksempel, hvis nævnerne var 2 og 7, ville det pågældende tal være 3, 5.
Trin 2. Multiplicer tælleren og nævneren for brøken udtrykt i mindre termer med tallet i det første trin
To forskellige, men ækvivalente brøker har pr. Definition tællere og nævnere flere af hinanden. Med andre ord vil multiplikation af tæller og nævner for en brøk med det samme tal frembringe en ækvivalent brøk. Selvom tallene i denne nye brøkdel vil være forskellige, vil brøkerne have den samme værdi.
- For eksempel, hvis vi tager 4/8 brøkdelen fra det første trin og multiplicerer både tæller og nævner med tallet 2, bestemt tidligere, har vi (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 - og dermed bevises, at begge fraktioner er ækvivalente.
Metode 3 af 5: Brug af Basic Division til at bestemme ækvivalens
Trin 1. Beregn hver brøk som et decimaltal
I tilfælde af simple brøker uden variabler kan du dybest set udtrykke hver brøk som et decimaltal for at bestemme ækvivalens. Da hver brøkdel virkelig er et delingsproblem fra starten, er dette den enkleste måde at bestemme ækvivalens på.
- Tag for eksempel den allerede anvendte 4/8. Brøken 4/8 svarer til at beregne 4 divideret med 8, det vil sige 4/8 = 0,5. Du kan også løse det andet eksempel, det vil sige 8/16 = 0,5. Brøkdel de er ækvivalente, hvis begge tal er nøjagtigt det samme, når det udtrykkes i decimalform.
- Husk, at decimaludtrykket kan fortsætte i flere cifre, før uoverensstemmelsen bliver tydelig. Som et grundeksempel, 1/3 = 0, 333, mens 3/10 = 0, 3. Når du bruger mere end et ciffer, kan du se, at de to ligninger ikke er ækvivalente.
Trin 2. Divider tæller og nævner for en brøk med det samme tal for at få en ækvivalent brøk
I tilfælde af mere komplekse fraktioner kræver delingsmetoden yderligere trin. Som med multiplikationsmetoden er det muligt at dividere tælleren og nævneren af en brøk med det samme tal for at opnå en ækvivalent brøk. Der er en hemmelighed bag denne proces. Den resulterende brøk skal have hele tal i både tælleren og nævneren for at være gyldig.
- Lad os f.eks. Se på 4/8 brøkdelen igen. Hvis vi i stedet for at gange dem dividerer tælleren og nævneren med 2, har vi (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 og 4 er begge heltal, så denne ækvivalente brøkdel er gyldig.
Trin 3. Reducer brøker til deres minimumsbetingelser
De fleste brøker skal normalt udtrykkes i deres minimumsbetingelser, og det vil være muligt at konvertere dem til disse minimumsbetingelser ved at dividere dem med deres største fælles faktor (MFC). Dette trin anvender den samme logik til at udtrykke ækvivalente brøker ved at konvertere dem til at have den samme nævner, men denne metode søger at reducere hver brøkdel til dens minimum udtrykbare udtryk.
- Når en brøkdel er i sine enkleste termer, er dens tæller og nævner begge så små, som de kan være, og de kan heller ikke divideres med et helt tal for at få et mindre tal. For at konvertere en brøkdel, der ikke er i sine enkleste termer, til en, der er, deler vi tælleren og nævneren med deres største fælles faktor.
-
Tæller og nævner er den største fælles faktor (MFC), der er lig med det største tal, der deler dem begge for at få et heltal resultat. Således i vores 4/8 kopi, siden
Trin 4. er det største tal, der deler både 4 og 8, deler vi tælleren og nævneren for vores brøk med 4 for at få de enkleste udtryk: (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. I det andet eksempel, 8/16, er MFC 8, hvorved vi også når frem til resultatet 1/2 som det enkleste udtryk for brøken.
Metode 4 af 5: Brug af krydsmultiplikation til at løse en variabel
Trin 1. Match de to brøker
Vi bruger kryds-multiplikation i matematiske problemer, som vi ved er ækvivalente, men hvor et af tallene i et af dem er blevet erstattet af en variabel (normalt x), der skal løses. I tilfælde som dette ved vi, at brøker er ækvivalente, fordi de er de eneste udtryk på modsatte sider af lighedstegnet, men denne opløsning er ikke altid indlysende. Heldigvis er det let at løse disse problemer ved krydsmultiplikation.
Trin 2. Tag begge ækvivalente fraktioner og gang dem på tværs i en "X" -form
Med andre ord skal man gange tælleren for en brøk med nævneren for den anden og omvendt for derefter at finde disse to svar lig med hinanden og løse problemet.
Lad os tage de to eksempler 4/8 og 8/16. De indeholder ikke en variabel, men det er muligt at bevise konceptet, da vi allerede ved, at de er ækvivalente. Ved krydsmultiplikation har vi den 4 × 16 = 9 × 9 eller 64 = 64, hvilket utvivlsomt er sandt. Hvis de to tal ikke er identiske, er brøkerne ikke ækvivalente
Trin 3. Indtast en variabel
Da kryds-multiplikation er den nemmeste måde at bestemme ækvivalente brøker ved løsning af en variabel, lad os introducere en ukendt.
-
Overvej f.eks. Ligningen 2/x = 10/13. For at krydsmultiplicere, multiplicerer vi 2 med 13 og 10 med x og sætter derefter svarene lig med hinanden:
- 2×13 = 26
- 10 × x = 10x
-
10x = 26
- Herfra er det et simpelt algebra at få svar på vores variabel. X = 10/26 = 2, 6, definerer de indledende ækvivalente fraktioner som 2/2, 6 = 10/13.
Trin 4. Brug krydsmultiplikation i ligninger med flere variabler eller udtryk med ukendte
En af de bedste ting ved krydsmultiplikation er det faktum, at det fungerer stort set det samme, uanset om du har at gøre med to enkle brøker (som ovenfor) eller med mere komplekse brøker. For eksempel, hvis begge fraktioner indeholder variabler, bør de kun elimineres ved afslutningen af afviklingsprocessen. På samme måde, hvis tællerne eller nævnerne til brøker indeholder udtryk med variabler (f.eks. X+1), skal du bare "multiplicere" gennem den fordelende egenskab og løse dem normalt.
-
Overvej f.eks. Ligningen [(x+3)/2] = [(x+1)/4)]. I dette tilfælde, som før, løser vi det med krydsmultiplikation:
- (x+3) × 4 = 4x+12
- (x+1) × 2 = 2x+2
-
2x+2 = 4x+12
Vi vil forenkle ligningen ved at trække 2x fra begge sider
-
2 = 2x+12
Her vil vi isolere variablen ved at trække 12 fra begge sider
-
-10 = 2x
Vi deler begge tal med 2 for at opklare x
- - 5 = x
Metode 5 af 5: Brug af den kvadratiske formel til at løse variabler
Trin 1. Multiplicer de to fraktioner på tværs
I ækvivalensproblemer, der kræver den kvadratiske formel, starter vi stadig med kryds-multiplikation. Imidlertid vil enhver multiplikation, der involverer multiplikation af variable udtryk med andre variable udtryk, sandsynligvis resultere i et udtryk, der ikke let vil blive løst med ren algebra. I tilfælde som dette kan det være nødvendigt at bruge teknikker som faktorisering og kvadratiske formler.
-
Lad os f.eks. Se på ligningen [(x+1)/3] = [4/(2x-2)]. I første omgang vil vi udføre kryds-multiplikation:
- (x+1) × (2x-2) = 2x2+2x-2x-2 = 2x2-2
- 4×3 = 12
- 2x2-2 = 12
Trin 2. Udtryk ligningen som en kvadratisk ligning
På dette tidspunkt vil vi udtrykke denne ligning i kvadratisk form (ax2+bx+c = 0), hvilket kan gøres ved at sætte det til nul. I dette tilfælde trækker vi 12 fra begge sider for at få 2x2-14 = 0.
- Nogle værdier kan svare til 0. Selvom 2x2-14 = 0 er den enkleste form for ligningen, den sande kvadratiske ligning er repræsenteret med 2x2+0x+(-14) = 0. Det hjælper at se på den kvadratiske form for en ligning, selvom nogle af dens værdier er lig med 0.
Trin 3. Løs det ved at indtaste tallene på din ligning i den kvadratiske formel
Den kvadratiske formel x = [-b ± √ (b2-4ac)]/2a hjælper os med at finde ud af x -værdien. Lad dig ikke skræmme af formelens størrelse. Du tager simpelthen værdierne for den kvadratiske ligning fra trin to og indtaster dem på de relevante punkter, før du løser den.
-
[x = (-b ± √ (b)2-4ac)]/2a
- I vores ligning er 2x2-14 = 0, a = 2, b = 0 og c = -14.
- x = [-0 ± √ (02-4(2)(-14))]/2(2)
- x = [± √ (0-(-112))]/2 (2)
- x = [± 112]/2 (2)
- x = ± 10, 58/4
- x = ±2, 64
Trin 4. Kontroller svaret ved at indtaste x -værdien tilbage i den kvadratiske ligning
Ved at indtaste den beregnede værdi i den kvadratiske ligning fra trin to, kan du nemt afgøre, om du er nået frem til det korrekte svar. I dette eksempel vil du placere både 2, 64 og -2, 64 i den kvadratiske ligning.
Tips
- At konvertere brøker til ækvivalent form er en måde at gange dem med 1. Når man konverterer 1/2 til 2/4, er multiplikation af tæller og nævner med 2 det samme som at gange 1/2 med 2/2, hvilket resulterer i 1.
-
Hvis du foretrækker det, skal du konvertere blandede tal til upassende brøker for at lette konverteringen. Det er klart, at ikke alle fraktioner vil være så enkle at konvertere som 4/8 eksemplet ovenfor. For eksempel kan blandede tal (f.eks. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 osv.) Gøre konverteringsprocessen lidt mere kompliceret. Hvis du skal konvertere et blandet tal til en ækvivalent brøk, kan du gøre det på to måder: omdanne det blandede tal til en forkert brøk og konvertere det normalt eller beholder det blandede tal og får et blandet tal som svar.
- For at konvertere den til en forkert brøk skal du multiplicere heltalskomponenten med nævneren for brøkdelskomponenten og tilføje den til tælleren. For eksempel er 1 2/3 = [(1 × 3) +2]/3 = 5/3. Hvis du foretrækker det, kan du derefter frit konvertere det. For eksempel 5/x × 2/2 = 10/6, hvilket svarer til 1 2/3.
- Det er imidlertid ikke nødvendigt at konvertere det til en ukorrekt fraktion som beskrevet ovenfor. Hvis vi ikke gør det, ignorerer vi heltalskomponenten, konverterer den isolerede brøkdelskomponent og tilføjer derefter den uændrede heltalskomponent. For eksempel i tilfælde af 3 4/16 vil vi kun se på 4/16. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Så når vi tilføjer heltalskomponenten, har vi et nyt blandet tal, eller 3 1/4.
Opslag
- Multiplikation og division fungerer ved at få ækvivalente brøker, fordi multiplikation og dividering med brøkformer af tallet 1 (2/2, 3/3 osv.) Resulterer per definition i svar svarende til den første brøk. Addition og subtraktion tillader ikke denne mulighed.
-
Selvom du multiplicerer tællere og nævnere sammen, når du multiplicerer brøker, kan du ikke tilføje eller trække nævnere, når du tilføjer eller fratrækker brøker.
- For eksempel fandt vi ovenfor, at 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Hvis vi tilføjer 4/4 i stedet, får vi et helt andet svar: 4/8+4/4 = 4/8+8/8 = 12/8 = 1 1/2 eller 3/2, hvoraf ingen er lig med 4/8.
