Sådan finder du ligningen for en linje, der tangerer kurven

Indholdsfortegnelse:

Sådan finder du ligningen for en linje, der tangerer kurven
Sådan finder du ligningen for en linje, der tangerer kurven

Video: Sådan finder du ligningen for en linje, der tangerer kurven

Video: Sådan finder du ligningen for en linje, der tangerer kurven
Video: Afstandsstigen Del 1 - Hvordan man finder afstande i rummet 2023, December
Anonim

I modsætning til en lige linje ændres hældningen af en kurve konstant, når den bevæger sig langs grafen. Calculus introducerer eleverne til konceptet om, at hvert punkt på denne graf kan beskrives som en hældning eller en "øjeblikkelig ændringshastighed". Tangentlinjen er en lige linje i forhold til den hældning, der passerer gennem det samme punkt på grafen. For at finde ud af, hvad tangentligningen er, skal du vide, hvordan du udtrækker derivatet af den originale ligning.

trin

Metode 1 af 2: Find ligningen for en tangent

Find ligningen for en tangentlinje Trin 1
Find ligningen for en tangentlinje Trin 1

Trin 1. Skits funktionen og tangenten (anbefales)

Diagrammet hjælper dig med at spore problemet og se, om svaret giver mening. Tegn funktionen på et stykke grafpapir ved hjælp af en grafisk lommeregner, hvis det er nødvendigt. Tegn den tangent, der passerer gennem det givne punkt (husk, at den passerer gennem dette punkt og har den samme hældning som grafen der).

  • Eksempel 1:

    Tegn grafen for parabolen f (x) = 0, 5x2+3x − 1 { displaystyle f (x) = 0, 5x^{2}+3x-1}

    . Desenhe a tangente que passa pelo ponto (-6, 1).

    Você ainda não conhece a equação da tangente, mas pode observar que o declive é negativo e que sua intercepção y é também negativa (bem abaixo do vértice da parábola, com valor y = -5, 5). Se a sua resposta final não for igual a esses detalhes, você poderá conferir os cálculos em busca de erros.

Find ligningen for en tangentlinje Trin 2
Find ligningen for en tangentlinje Trin 2

Trin 2. Få den første ordens derivat for at finde ligningen for tangentens hældning

For funktionen f (x) repræsenterer det første derivat f '(x) ligningen for tangensens hældning på et hvilket som helst tidspunkt i f (x). Der er mange måder at udlede. Her er et enkelt eksempel ved hjælp af strømreglen:

  • Eksempel 1 (forts.):

    grafen er beskrevet med funktionen f (x) = 0, 5x2+3x − 1 { displaystyle f (x) = 0, 5x^{2}+3x-1}

    Lembre-se da regra das potências ao fazer derivadas: ddxxn=nxn−1{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}

    A primeira derivada da função será igual a f'(x) = (2)(0, 5)x + 3 - 0.

    f'(x) = x + 3. Insira qualquer valor “a” para o x dessa equação e o resultado será igual ao declive da tangente de f(x) no ponto em que x = a.

Find ligningen for en tangentlinje Trin 3
Find ligningen for en tangentlinje Trin 3

Trin 3. Indtast x -værdien af det punkt, der skal undersøges

Læs problemet for at finde koordinaterne for det punkt, hvis tangent du vil finde. Indtast x -koordinaten for dette punkt i f '(x). Resultatet bliver tangentens hældning på det tidspunkt.

  • Eksempel 1 (forts.):

    det punkt, der er nævnt i problemet, er (-6, -1). Brug koordinaten x = -6 som værdien af den uafhængige variabel i f '(x):

    f '(-6) = -6 + 3 = -3

    Tangens hældning er -3.

Find ligningen for en tangentlinje Trin 4
Find ligningen for en tangentlinje Trin 4

Trin 4. Skriv tangentligningen i grundlæggende form

Grundformen for en lineær ligning repræsenteres af y − y1 = m (x − x1) { displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1})}

onde m representa o declive (coeficiente angular da reta) e (x1, y1){displaystyle (x_{1}, y_{1})}

representa um ponto da reta. Agora, você tem toda a informação necessária para escrever a equação da tangente nessa forma.

  • Exemplo 1 (cont.):

    y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}

    O coeficiente angular da reta é igual a -3 e, por isso, y−y1=−3(x−x1){displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}

    A tangente passa pelo ponto (-6, -1), de modo que a equação final pode ser representada por y−(−1)=−3(x−(−6)){displaystyle y-(-1)=-3(x-(-6))}

    Simplifique-a para y+1=−3x−18{displaystyle y+1=-3x-18}

    y=−3x−19{displaystyle y=-3x-19}

Find ligningen for en tangentlinje Trin 5
Find ligningen for en tangentlinje Trin 5

Trin 5. Bekræft ligningen på din graf

Hvis du har en grafisk lommeregner, skal du samle den originale funktion og tangenten for at kontrollere, at resultatet er korrekt. Hvis du arbejder på papir, skal du gå tilbage til det forrige diagram for at sikre, at der ikke er fejl i svaret.

  • Eksempel 1 (forts.):

    den indledende skitse afslørede, at tangentens hældning var negativ, og y -skæringen var et godt stykke under 5. 5. Tangentligningen, vi fandt, er repræsenteret med y = -3x -19 i grundlæggende form, hvilket indikerer, at -3 repræsenterer hældning og -19, y -skæringen. Begge attributter er de samme som de indledende forudsigelser.

Find ligningen for en tangentlinje Trin 6
Find ligningen for en tangentlinje Trin 6

Trin 6. Prøv at løse et vanskeligere problem

Her er en opfølgning på hele processen endnu en gang. Nu er målet at finde tangenten af f (x) = x3+2x2+5x+1 { displaystyle f (x) = x^{3}+2x^{2}+5x+1}

em x = 2:

  • Com a regra das potências, a derivada primeira será igual a f′(x)=3x2+4x+5{displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}
  • . Essa função nos mostrará qual é o declive da tangente.

  • Uma vez que x = 2, encontre f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{displaystyle f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25}
  • . Esse é o declive da função quando x = 2.

  • Observe que não temos o valor do ponto nesse momento, mas apenas uma coordenada x. Para descobrir qual é a coordenada y, insira x = 2 na função inicial: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{displaystyle f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27}
  • . O ponto será (2, 27).

  • Escreva a equação da tangente na forma fundamental: y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
  • y−27=25(x−2){displaystyle y-27=25(x-2)}

    Se necessário, simplifique-a para y = 25x - 23.

Método 2 de 2: Solucionando problemas relacionados

Find ligningen for en tangentlinje Trin 7
Find ligningen for en tangentlinje Trin 7

Trin 1. Find de ekstreme punkter i en graf

Dette er de punkter, hvor grafen når et lokalt maksimum (højere punkt end punkterne på en hvilken som helst side) eller et lokalt minimum (lavere end alle punkter på enhver side). Tangenten vil altid have en hældning lig med 0 på disse punkter (vandret linje), hvilket ikke nødvendigvis angiver et ekstrempunkt. Lær hvordan du finder dem her:

  • Find det første derivat af funktionen for at få f '(x), ligningen for tangensens hældning.
  • Løs f '(x) = 0 for at finde mulige ekstreme punkter.
  • Tag det andet derivat for at få f '' (x), ligningen, der fortæller dig, hvor hurtigt tangentens hældning ændres.
  • For hvert muligt ekstremt punkt indtastes koordinaten x = a i f '' (a). Hvis værdien af f '' (a) er positiv, er der et lokalt minimum i a. Hvis værdien af f '' (a) er negativ, er det et lokalt maksimum. Hvis værdien af f '' (a) er lig med 0, er der et bøjningspunkt, ikke et ekstrempunkt.
  • Hvis der er et maksimum eller et minimum i a, skal du finde værdien af f '' (a) for at vide, hvad y-koordinaten er.
Find ligningen for en tangentlinje Trin 8
Find ligningen for en tangentlinje Trin 8

Trin 2. Find den normale ligning

Den "normale" af en hældning på et bestemt punkt passerer gennem dette punkt, men har en hældning vinkelret på en tangent. For at finde ligningen for det normale, udnyt det faktum, at produktet (tangens hældning). (Hældning af normal) = -1, når begge passerer gennem det samme punkt på grafen. Med andre ord:

  • Find f '(x), tangensens hældning.
  • Hvis punktet er på x = a, skal du finde f '(a) for at finde tangentens hældning på det sted.
  • Beregn −1f ′ (a) { displaystyle { frac {-1} {f '(a)}}}

    para encontrar o declive da normal.

  • escreva a equação normal na forma fundamental.

dicas

  • se necessário, comece a reescrever a equação inicial na forma geral:

    f(x) = … ou y = …

Anbefalede: