Eksponentiering (eller potentiering) er den handling, der bruges til at forenkle multiplikationen af et tal i sig selv. For eksempel, i stedet for at skrive 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 { displaystyle 4*4*4*4*4}
podemos usar apenas 45{displaystyle 4^{5}}
. Dette vil blive forklaret nedenfor i afsnittet" 42∗43="45{displaystyle"
). Atenção: para saber como resolver equações exponenciais, isto é, equações em que o valor desconhecido aparece no expoente (por exemplo, 22x=30{displaystyle 2^{2x}=30}
), clique aqui.
Passos
Método 1 de 3: Operações básicas com potências
Trin 1. Lær det korrekte ordforråd til eksponentieringsproblemer
Al magt, f.eks. 23 { displaystyle 2^{3}}
apresenta duas partes. O número inferior (2 nesse exemplo) é chamado de base. O número sobrescrito à direita (3 nesse exemplo) é chamado de expoente ou potência. Podemos ler a potência 23{displaystyle 2^{3}}
como dois elevado a três ou dois elevado à terceira potência.
- Se um número estiver elevado à segunda potência, como 52{displaystyle 5^{2}}
- Se um número estiver elevado à terceira potência, como 103{displaystyle 10^{3}}
- Se um número não possuir expoente, como um simples 4, dizemos que ele está elevado à primeira potência e podemos reescrevê-lo como 41{displaystyle 4^{1}}
- Se o expoente for 0 e um número diferente de zero estiver elevado ao expoente zero, dizemos que a potência é igual a 1, como por exemplo 40=1{displaystyle 4^{0}=1}
- 45=4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
- 82=8∗8{displaystyle 8^{2}=8*8}
- Dez ao cubo =10∗10∗10{displaystyle =10*10*10}
- 45=4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
- 4∗4=16{displaystyle 4*4=16}
- 45=16∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
-
45 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 { displaystyle 4^{5} = 16*4*4*4}
- 16∗4=64{displaystyle 16*4=64}
- 45=64∗4∗4{displaystyle 4^{5}=64*4*4}
- 64∗4=256{displaystyle 64*4=256}
- 45=256∗4{displaystyle 4^{5}=256*4}
- 256∗4=1024{displaystyle 256*4=1024}
- Como mostrado, você deve continuar a multiplicar a base pelo produto de cada primeiro par de números até chegar ao resultado final. Em outras palavras, você deve multiplicar os dois primeiros números da sequência e, em seguida, multiplicar esse produto pelo próximo número. Isso vale para qualquer potência. Ao terminar nosso exemplo, você obterá o resultado 45=4∗4∗4∗4∗4=1024{displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024} .
dizemos que ele está elevado ao quadrado (no exemplo, lemos cinco ao quadrado).
dizemos que ele está elevado ao cubo (no exemplo, lemos dez ao cubo).
ou (3/8)0=1.{displaystyle (3/8)^{0}=1.}
Hvis du vil vide mere, kan du besøge afsnittet
Trin 2. Multiplicer basen gentagne gange af sig selv så mange gange som eksponenten angiver
Hvis du skal beregne værdien af en effekt i hånden, skal du først omskrive den som et multiplikationsproblem. Basen skal gange sig selv et antal gange, der er lig med eksponenten. Så for at beregne værdien af 34 { displaystyle 3^{4}}
você deverá multiplicar a base três por si mesma quatro vezes seguidas, ou seja, 3∗3∗3∗3{displaystyle 3*3*3*3}
. Observe mais alguns exemplos:
Trin 3. Løs udtrykket
Multiplicer de to første tal for at få produktresultatet. For eksempel at beregne 45 { displaystyle 4^{5}}
você começaria com 4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4*4*4*4*4}
. Essa expressão pode parecer assustadora, porém tudo o que você precisa para poder resolvê-la é dar um passo por vez. Primeiramente, multiplique os dois primeiros quatros. Em seguida, substitua esses dois quatros pelo resultado da multiplicação, como mostra a resolução abaixo:
Trin 4. Multiplicer produktet af det første par (i dette eksempel, 16) med det næste nummer
Bliv ved med at gange tallene for at få kraften til at "vokse". Tilbage til vores eksempel ville det næste trin være at gange 16 med de næste 4, som vist i opløsningen herunder:
Trin 5. Løs nogle flere eksempler (brug en lommeregner til at kontrollere svarene)
-
82 { displaystyle 8^{2}}
- 34{displaystyle 3^{4}}
- 107{displaystyle 10^{7}}
Trin 6. Brug knappen "exp", "xn { displaystyle x^{n}}
"
Det er næsten umuligt at beregne højere kræfter, som 915 { displaystyle 9^{15}}
manuelt. Men for en lommeregner er dette en simpel opgave. Knappen er normalt tydeligt markeret. Hvis du vil bruge denne funktion i Windows 7 -lommeregner, skal du skifte til videnskabelig lommeregnertilstand: klik på menuen"
- Kontroller svaret ved hjælp af Google -søgning. Brug knappen "^" på din computer, tablet eller smartphone -tastatur til at skrive det eksponentielle udtryk i søgelinjen. Google viser dig øjeblikkeligt svaret og foreslår lignende styrker, som du kan udforske.
Metode 2 af 3: Tilføjelse, subtraktion og multiplikation af beføjelser
Trin 1. Tilføj eller fratræk beføjelser fra den samme base og samme eksponent
Hvis baserne og effekteksponenterne er ens, f.eks. 45+45 { displaystyle 4^{5}+4^{5}}
podemos simplificar os termos da adição e transformá-la em uma simples multiplicação. É importante lembrar que 45{displaystyle 4^{5}}
é o mesmo que 1∗45{displaystyle 1*4^{5}}
de tal forma que 45+45=1∗45+1∗45=2∗45{displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}}
altså" disso="2"
e multiplicar o resultado por dois. Lembre-se: a multiplicação é apenas uma forma de reescrever uma adição, como 3+3=2∗3{displaystyle 3+3=2*3}
. Observe mais alguns exemplos:
- 32+32=2∗32{displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
- 45+45+45=3∗45{displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
- 45−45+2=2{displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
- 4x2−2x2=2x2{displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}
Trin 2. Når du multiplicerer beføjelser for den samme base, skal eksponenterne tilsættes
Ved at multiplicere to kræfter i den samme base, f.eks. X2 ∗ x5 { displaystyle x^{2}*x^{5}}
podemos simplificá-la repetindo a base e somando os dois expoentes. Assim, concluímos que x2∗x5=x7{displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}
. Se esse raciocínio estiver confuso, basta decompor os termos da multiplicação para entender como ele funciona:
- x2∗x5{displaystyle x^{2}*x^{5}}
- x2=x∗x{displaystyle x^{2}=x*x}
- x5=x∗x∗x∗x∗x{displaystyle x^{5}=x*x*x*x*x}
- x2∗x5=(x∗x)∗(x∗x∗x∗x∗x){displaystyle x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)}
- Como se trata simplesmente de um mesmo número multiplicado por si mesmo, podemos reorganizar a expressão da seguinte maneira: x2∗x5=x∗x∗x∗x∗x∗x∗x{displaystyle x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x}
- x2∗x5=x7{displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}
Trin 3. Når du hæver en effekt til en anden eksponent, f.eks. (X2) 5 { displaystyle (x^{2})^{5}}
multiplique os expoentes.
Uma potência elevada a outro expoente é igual a base dessa potência elevada ao produto dos dois expoentes. Assim, concluímos que (x2)5=x2∗5=x10{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}
. Se achar o raciocínio confuso, basta analisar o que os símbolos realmente significam. A expressão (x2)5{displaystyle (x^{2})^{5}}
representa que a potência (x2){displaystyle (x^{2})}
está multiplicando si mesma 5 vezes, como podemos ver abaixo:
- (x2)5{displaystyle (x^{2})^{5}}
- (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
- Como as bases são iguais, podemos somar os seus expoentes: (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2=x10{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}
Trin 4. Omdann en magt med en negativ eksponent til en brøkdel (eller det gensidige af tallet)
Du behøver ikke at vide, hvad gensidige tal er. Ethvert tal hævet til en negativ eksponent, f.eks. 3−2 { displaystyle 3^{-} 2}
é igual ao inverso desse número elevado ao mesmo expoente, porém com sinal oposto. Assim, concluímos que nosso exemplo pode ser reescrito como a fração 132{displaystyle {frac {1}{3^{2}}}}
. Observe mais alguns exemplos:
- 5−101510{displaystyle 5^{-10}{frac {1}{5^{10}}}}
- 3x−4=3x4{displaystyle 3x^{-}4={frac {3}{x^{4}}}}
Trin 5. Når du deler to beføjelser af den samme base, trækkes eksponenterne fra
Division er det inverse af multiplikation, og selvom disse to operationer ikke altid løses på den modsatte måde, vil de i dette tilfælde være det. Opdelingen af to beføjelser med lige baser, såsom 4442 { displaystyle { frac {4^{4}} {4^{2}}}}
é igual a base elevada à diferença do expoente de cima pelo expoente de baixo. Assim, concluímos que 4442=44−2=42{displaystyle {frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}}
ou simplesmente
Passo 16
- Veremos a seguir que, qualquer potência que faz parte de uma fração, como 142{displaystyle {frac {1}{4^{2}}}}
pode ser reescrita como 4−2{displaystyle 4^{-2}}
. Expoentes negativos criam frações.
Trin 6. Løs nogle flere problemer med at øve eksponentielle taloperationer
Nedenstående problemer dækker alle de viste operationer hidtil. For at se svaret skal du blot markere problemlinjen med musemarkøren.
-
53 { displaystyle 5^{3}}
= 125
- 22+22+22{displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}
- x12−2x12{displaystyle x^{1}2-2x^{1}2}
- y3∗y{displaystyle y^{3}*y}
- (Q3)5{displaystyle (Q^{3})^{5}}
- r5r2{displaystyle {frac {r^{5}}{r^{2}}}}
= 12
= -x^12
= y4{displaystyle y^{4}}
Lembre-se: todo número que não apresenta potência possui expoente 1
= Q15{displaystyle Q^{1}5}
= r3{displaystyle r^{3}}
Método 3 de 3: Potências com expoente fracionário
Trin 1. Transformér en effekt med en brøkeksponent, f.eks. X12 { displaystyle x^{ frac {1} {2}}}
em uma raiz.
A potência x12{displaystyle x^{frac {1}{2}}}
equivale exatamente à raiz x{displaystyle {sqrt {x}}}
. Isso funciona da mesma forma para qualquer expoente fracionário, não importa o denominador da fração; assim, x14{displaystyle x^{frac {1}{4}}}
seria o mesmo que a raiz quarta de x, ou seja, x4{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}}
- A radiciação é a operação inversa da exponenciação. Por exemplo, se você elevar a raiz x4{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}}
à quarta potência, o resultado seria simplesmente x{displaystyle x}
. Assim, 164=2{displaystyle {sqrt[{4}]{16}}=2}
será o mesmo que 24=16{displaystyle 2^{4}=16}
. Outro exemplo: se x4=2{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}=2}
então 24=x{displaystyle 2^{4}=x}
. Portanto, x=2{displaystyle x=2}
Trin 2. Transform tælleren til radicandens eksponent
Effekten x53 { displaystyle x^{ frac {5} {3}}}
pode parecer mais complicada, mas basta lembrar de como multiplicar expoentes de potências. Transforme a base da potência no radicando da raiz (como uma fração normal) e o numerador da fração no expoente da raiz. Se sentir dificuldade para memorizar isso, você só precisa lembrar que 53{displaystyle {frac {5}{3}}}
é exatamente o mesmo que (13)∗5{displaystyle ({frac {1}{3}})*5}
. Por exemplo:
- x53{displaystyle x^{frac {5}{3}}}
- x53=x5∗x13{displaystyle x^{frac {5}{3}}=x^{5}*x^{frac {1}{3}}}
- x13=x3{displaystyle x^{frac {1}{3}}={sqrt[{3}]{x}}}
- x53=x5∗x13{displaystyle x^{frac {5}{3}}=x^{5}*x^{frac {1}{3}}}
= (x3)5{displaystyle ({sqrt[{3}]{x}})^{5}}
Trin 3. Tilføj, subtraher og multiplicér beføjelser med fraktionelle eksponenter normalt
Det er meget enklere at tilføje og fratrække beføjelser, før de beregnes eller konverteres til rødder. Hvis baserne og effekteksponenterne er ens, kan du tilføje og subtrahere dem normalt. Hvis magternes baser er ens, kan du også gange og dividere dem normalt, så længe du ved, hvordan du tilføjer og trækker fraktioner. Se eksemplerne:
- x53+x53 = 2 (x53) { displaystyle x^{ frac {5} {3}}+x^{ frac {5} {3}} = 2 (x^{ frac {5} {3} })}
- x53∗x23=x73{displaystyle x^{frac {5}{3}}*x^{frac {2}{3}}=x^{frac {7}{3}}}
Trin 4. Konverter komplicerede rødder til fraktionerede eksponentbeføjelser for nem opløsning
Du har allerede set, hvordan en fraktioneret eksponentstyrke simpelthen kan omdannes til en rod. Det er imidlertid vigtigt at bemærke, at denne proces også kan vendes. Tag udtrykket x5+x75 { displaystyle { sqrt [{5}] {x}}+x^{ frac {7} {5}}}
. À primeira vista, parece impossível resolver o problema; contudo, a raiz no primeiro termo pode ser facilmente convertida em uma fração, permitindo que você resolva o problema da seguinte maneira:
- x5+x75{displaystyle {sqrt[{5}]{x}}+x^{frac {7}{5}}}
- x5=x15{displaystyle {sqrt[{5}]{x}}=x^{frac {1}{5}}}
- x15+x75{displaystyle x^{frac {1}{5}}+x^{frac {7}{5}}}
- x85{displaystyle x^{frac {8}{5}}}
Tips
- De fleste lommeregnere har en knap, som du skal trykke på for at tilføje eksponenten efter at have indtastet basen. Det er ofte angivet med ^ eller x ^ y.
-
1'en er identitetselementet i eksponentieringen. Det betyder, at ethvert reelt tal hævet til 1 (det vil sige den første effekt) er lig med sig selv, f.eks. 41 = 4. { displaystyle 4^{1} = 4.}
. da mesma forma, 1 é o elemento identidade da multiplicação (1 usado como multiplicador, como 5∗1=5{displaystyle 5*1=5}
) e da divisão (1 usado como divisor, como 5/1=5{displaystyle 5/1=5}
).
- base zero elevada ao expoente zero, ou seja, 00, possui valor indefinido. computadores e calculadoras retornarão uma mensagem de erro. é importante lembrar que todo número real diferente de zero elevado a 0 é sempre igual a 1, como por exemplo 40=1.{displaystyle 4^{0}=1.}
- na álgebra avançada para números imaginários, eaix=cosax+isinax{displaystyle e^{a}ix=cosax+isinax}
onde i=(−1){displaystyle i={sqrt {(}}-1)}
e{displaystyle e}
é uma constante irracional contínua que vale aproximadamente 2, 71828…, e a{displaystyle a}
é uma constante arbitrária. a prova dessa relação pode ser encontrada na maioria dos livros de matemática de nível superior.
avisos
- aumentar o valor do expoente provoca um crescimento muito rápido na magnitude da potência, de tal forma que, mesmo a resposta parecendo incorreta, ela pode realmente estar certa. você pode verificar isso representando graficamente qualquer função exponencial (por exemplo, 2x) se x tiver uma faixa de valores.
