Dette er en artikel om, hvordan man faktoriserer et 3. grads polynom. Han vil undersøge, hvordan man kan faktorisere gennem gruppering samt ved hjælp af det frie udtryk.
trin
Del 1 af 2: Factoring ved gruppering
Trin 1. Grupper polynomet i to dele
Ved at gruppere polynomet i to dele kan vi benytte hvert afsnit individuelt.
- Lad os sige, at vi arbejder med polynomet x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0. Lad os gruppere det i (x3 + 3x2) og (-6x - 18)
Trin 2. Find ud af, hvad der er fælles for hver del
- Ser på (x3 + 3x2), kan vi se, at x2 det er almindeligt.
- Når man ser på (-6x -18), kan vi se, at -6 er almindelig.
Trin 3. Factor ud fælles for de to udtryk
- factoring x2 fra det første afsnit har vi x2(x + 3).
- Factoring i -6 i det andet afsnit får vi -6 (x + 3).
Trin 4. Hvis hvert af udtrykkene har den samme faktor, kan vi kombinere dem
- Dette giver os (x + 3) (x2 - 6).
Trin 5. Find løsningen ved at se på rødderne
hvis du har x2 ved roden, husk at både negative og positive tal fylder denne ligning.
Løsningerne er 3 og √6
Del 2 af 2: Free Term Factoring
Trin 1. Omarranger udtrykket, så det er i form af aX3+bX2+cX+d.
- Lad os sige, at vi arbejder med følgende ligning: x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Trin 2. Find alle faktorerne for "d"
Den konstante "d" vil være det tal, der ikke har nogen variabler, som "x" ved siden af.
Faktorer er tal, du kan gange for at få et andet tal. I vores tilfælde er faktorerne 10 eller "d": 1, 2, 5 og 10
Trin 3. Find en faktor, der er lig med polynomet med nul
Vi vil bestemme, hvilken faktor der gør polynomet lig med nul, når vi erstatter faktoren for hvert "x" i ligningen.
-
Lad os starte med at bruge vores første faktor, 1. Lad os erstatte "1" med hvert "x" i ligningen:
(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
- Dette giver os: 1-4 - 7 + 10 = 0.
- Da 0 = 0 er sandt, ved vi, at x = 1 er en løsning.
Trin 4. Lav en lille omstilling
Hvis x = 1, kan vi justere ligningen til at se lidt anderledes ud uden at ændre dens resultat.
"x = 1" er det samme som "x - 1 = 0" eller "(x - 1)". Vi har lige trukket "1" fra hver side af ligningen
Trin 5. Faktorér udtrykket i resten af ligningen
"(x - 1)" er dit udtryk. Lad os se, om vi kan faktorisere det ud af resten af ligningen. Vi går et polynom ad gangen.
- Vi kan faktor (x - 1) ud af x3? Vi kan ikke. Men vi kan låne et -x2 den anden variabel; så kan vi faktorere det: x2(x - 1) = x3 - x2.
- Kan vi udregne (x - 1), hvad der er tilbage af vores anden variabel? Nej, igen, det kan vi ikke. Vi skal låne en lille smule af den tredje variabel. Vi skal låne en 3x fra -7x. Dette giver os -3x (x -1) = -3x2 + 3x.
- Da vi har taget 3x ud af -7x, er vores tredje variabel nu -10x og vores konstant er 10. Kan vi regne det ud? Vi kan! -10 (x -1) = -10x + 10.
- Det vi gjorde var at omarrangere variablerne, så vi kunne udregne (x - 1) på tværs af ligningen. Vores omlejrede ligning skal se sådan ud: x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0, men det er stadig det samme som x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0.
Trin 6. Fortsæt med at udskifte faktorer med den frie sigt
Se på de tal, vi udregnede ved hjælp af (x - 1) i trin 5:
- x2(x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Vi kan omarrangere dette, så det er meget lettere at gøre faktoriseringen igen: (x - 1) (x2 - 3x - 10) = 0.
- Vi prøver bare at udregne (x2 - 3x - 10) her. Dette resulterer i (x + 2) (x - 5).
Trin 7. Din løsning er dit fakturerede udtryk
Du kan se, om dine løsninger virkelig virker ved at sætte hver enkelt individuelt tilbage i den originale ligning.
- (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0 Dette giver os løsningen på 1, -2 og 5.
- Sæt -2 tilbage i ligningen: (-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
- Sæt de 5 tilbage i ligningen: (5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
Tips
- Tredjegrads polynomet er produktet af tre førstegrads polynomier eller produktet af et første-grads polynom og et andet-grads polynom, der ikke kan medregnes. I sidstnævnte tilfælde bruger vi den lange division efter at have fundet førstegradspolynomet til at finde andengrads-polynomet.
- Der er ingen tredjegrads polynomer inden for reelle tal, der ikke kan medregnes, fordi hvert kubisk polynom skal have et reelt udtryk. Kubikere som x^3 + x + 1, der har et irrationelt tal, kan ikke indregnes i polynomer med et heltal eller en rationel koefficient. Selvom det kan regnes med kubikformlen, er det irreducerbart som et heltal polynom.
