3 måder at faktorere trinomier på

2023 Forfatter: Barbara Vance | [email protected]. Sidst ændret: 2023-11-27 00:41

Et trinomium er et algebraisk udtryk, der består af tre termer. Du vil sandsynligvis lære at faktorere kvadratiske trinomier, som er trinomier skrevet i formen øks² + bx + c. Der er flere tricks, der kan anvendes på forskellige typer kvadratiske trinomier, men du bliver bedre og hurtigere med øvelse. Polynomer af højere grader, med udtryk som³ eller x⁴, kan ikke altid løses med de samme metoder, men du kan ofte ty til simpel faktorisering eller termsubstitution for at gøre dem til problemer, der kan løses med enhver kvadratisk formel.

trin

Metode 1 af 3: Factoring x² + bx + c

Trin 1. Lær distributionsejendommen (også kendt som FOIL på engelsk) , for at gange udtryk som (x+2) (x+4).

Inden du starter factoring, er det godt at vide, hvordan dette fungerer:

• ganges først vilkår: (x+2)(x+4) = x² + _

• Multiplicer vilkårene for uden for: (x+2) (x+

  Trin 4.) = x²+ 4x + _

• Multiplicer vilkårene for inde: (x+

  Trin 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• ganges sidst vilkår: (x+

  Trin 2.)(x

  Trin 4.) = x²+4x+2x

  Trin 8.

• Forenkle: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Trin 2. Forstå faktorisering

Når du multiplicerer to binomier sammen ved hjælp af det distributive, ender du med et trinomial (et tre-term udtryk) af formen a x²+ b x+ c, hvor “a”, “b” og “c” er almindelige tal. Hvis du starter med en ligning af samme form, kan du faktorisere den tilbage i to binomier.

• Hvis ligningen ikke er skrevet i den rækkefølge, skal du flytte vilkårene til den korrekte position. For eksempel omskrive 3x - 10 + x² synes godt om x² + 3x - 10.
• Da den største eksponent er 2 (x², dette udtryk kaldes "kvadratisk".

Trin 3. Reserver en plads til svaret på den præsenterede metode

For nu skal du bare skrive (_ _) (_ _) i rummet dedikeret til svaret. Vi udfylder disse felter inden for kort tid.

Indsæt ikke + eller - tegn mellem tomme udtryk endnu, da vi ikke ved, hvilken der vil blive brugt

Trin 4. Udfyld de første vilkår

I simple problemer, hvor det første udtryk for dit trinomium bare er x²vil vilkårene i den første position altid være x og x. Dette er faktorerne for x², fordi x gange x = x².

• Vores eksempel, x² + 3x - 10, starter med x², så kan vi skrive:
• (x _) (x _)
• Vi vil se på mere detaljerede problemer i det næste afsnit, herunder trinomier, der starter med et udtryk som 6x²eller -x². For nu skal du følge eksemplet på problem.

Trin 5. Brug faktorisering til at gætte de sidste udtryk

Hvis du går tilbage og genlæser den metode, der blev brugt oprindeligt, vil du se, at multiplikation af de sidste udtryk giver det sidste udtryk i polynomet (det uden x). Så for at faktorere, skal vi finde to tal, der multiplicerer for at danne det sidste udtryk.

• I vores eksempel er x² + 3x - 10, det sidste udtryk er -10.
• Hvad er faktorerne på -10? Hvilke to tal ganget sammen gør -10?
• Der er et par muligheder: -1 gange 10, 1 gang -10, -2 gange 5 eller 2 gange -5. Skriv disse par ned et sted, så du ikke glemmer det.
• Ændr ikke svaret endnu. Hun ser stadig sådan ud: (x _) (x _).

Trin 6. Test hvilke muligheder der fungerer med udvendig og indvendig multiplikation

Vi har reduceret de sidste vilkår til få muligheder. Test hver enkelt ved at gange de eksterne og interne termer, og sammenlign derefter resultatet med vores trinomial. For eksempel:

• "X" -udtrykket for vores originale problem er "3x", så det er det, vi ønsker at få i testen.
• Test -1 og 10: (x -1) (x+10). Udenfor + indvendig værdi = 10x - x = 9x. Ikke.
• Test 1 og -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Dette er ikke rigtigt. Efter test -1 og 10 ved du faktisk, at svaret 1 og -10 vil være lige det modsatte af ovenstående resultat: -9x i stedet for 9x.
• Test -2 og 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Dette matcher det originale polynom, så dette er det korrekte svar: (x-2) (x+5).
• I enkle tilfælde som dette, når der ikke er nogen konstant foran x², kan du bruge en genvej: tilføj bare de to faktorer og sæt et "x" efter (-2+5 → 3x). Dette fungerer ikke med mere komplicerede problemer, så det er godt at huske den fulde sti beskrevet ovenfor.

Metode 2 af 3: Faktorisering af mere detaljerede trinomier

Trin 1. Brug simpel factoring til at lette mere detaljerede problemer

Lad os sige, at du skal faktorere 3x² + 9x - 30. Se efter et tal, der faktoriserer alle tre udtryk (deres "største fælles divisor" eller MDC). I dette tilfælde er det 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Altså 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Vi kan udregne det nye trinomium ved hjælp af trinene i begyndelsen af denne artikel. Svaret vil være (3) (x-2) (x+5).

Trin 2. Kig efter mere detaljerede faktorer

Nogle gange kan faktoren involvere variabler, eller du skal muligvis faktorere et par gange, indtil du finder det enkleste udtryk muligt. Her er nogle eksempler:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Glem ikke at faktorisere det nye trinomial endnu en gang ved at bruge trinene fra begyndelsen. Tjek dit svar, og find lignende eksempler på spørgsmål nær slutningen af denne artikel.

Trin 3. Løs problemer med et tal foran x².

Nogle kvadratiske trinomier kan ikke forenkles, før du når den letteste type problem. Lær hvordan du løser problemer som 3x² + 10x + 8 og øv dig derefter med eksemplerne på problemer i slutningen af denne artikel:

• Saml svaret: (_ _)(_ _)
• De første udtryk har et "x" hver, og når det multipliceres, resulterer det i 3x². Der er kun en mulig mulighed her: (3x _) (x _).
• Angiv faktorerne 8. Vores muligheder er 1 gange 8 eller 2 gange 4.
• Test dem ved hjælp af udtrykkene ude og inde. Bemærk, at rækkefølgen af faktorer er vigtig, da det ydre udtryk multipliceres med "3x", ikke med "x". Prøv alle mulighederne, indtil du får et resultat udefra + inden for 10x (ifølge det originale problem):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Ikke.
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Ikke.
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Ikke.
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Ja, dette er den korrekte faktor.

Trin 4. Brug substitution til trinomier af højere kvalitet

Din matematikbog kan overraske dig med en høj x -eksponentligning⁴, selv efter allerede at have brugt simpel faktorisering for at lette problemet. Prøv at erstatte den med en ny variabel, der gør ligningen til noget, du kan løse. For eksempel:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Lad os opfinde en ny variabel. Vi vil sige, at y = x² og vi foretager udskiftningerne:
• (x) (y²+13y+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Gå nu tilbage til at bruge den originale variabel:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3 af 3: Factoring i særlige tilfælde

Trin 1. Kig efter primtal

Kontroller, om konstanten i trinomiets første eller tredje led er et primtal. Et primtal kan kun divideres ens ved sig selv og med 1, så der er kun ét par binomiske faktorer. Br>

• For eksempel i x² + 6x + 5, "5" er et primtal, så binomiet skal se sådan ud: (_ 5) (_ 1).
• I 3x problem²+10x+8, 3 er et primtal, så binomiet skal se sådan ud: (3x _) (x _).
• Til 3x problemet²+4x+1, både "3" og "1" er primtal, så den eneste mulige løsning er (3x+1) (x+1). (Du bør stadig udføre denne multiplikation for at kontrollere din beregning, da nogle udtryk ikke kan regnes med - f.eks. 3x2 + 100x + 1 har ingen faktorer).

Trin 2. Kontroller, at trinomiet er en perfekt firkant

Et perfekt firkantet trinomial kan opdeles i to identiske binomier, og faktoren skrives normalt som (x+1)², i stedet for (x+1) (x+1). Her er nogle almindelige, der har tendens til at dukke op i problemer:

• x²+2x+1 = (x+1)², og x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)², og x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)², og x²-6x+9 = (x-3)²
• I et perfekt firkantet trinomium i form af et x² + bx + c, udtrykkene "a" og "c" er altid positive perfekte firkanter (f.eks. 1, 4, 9, 16 eller 25), og udtrykket b (positivt eller negativt) er altid lig med 2 (√a * √c).

Trin 3. Kontroller, om der ikke er nogen løsning

Ikke alle trinomier kan medregnes. Hvis du sidder fast på et kvadratisk trinomium (aks²+bx+c), brug den kvadratiske formel til at finde resultatet. Hvis de eneste svar er kvadratroden af et negativt tal, så er der ingen reel løsning, så der er ingen faktorer.

For ikke-kvadratiske trinomier skal du bruge Eisenstein-kriteriet, som er beskrevet i afsnittet med tip

Svar og problemeksempler

1. Svar på de mest udførlige factoring -problemer.

   Dette er problemerne med delen om "mere udførlige" trinomier. Vi har allerede forenklet dem, hvilket gør dem til et lettere problem. Prøv nu at løse dem ved hjælp af trinene fra begyndelsen, og tjek derefter dine beregninger her:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Prøv at løse mere komplekse factoring -problemer.

   Disse problemer har en fælles faktor i hvert udtryk, der først skal tages med i betragtning. Fremhæv mellemrummet efter lighedstegnene for at se svaret, og tjek dine beregninger her:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) ← fremhæv dette mellemrum for at se dit svar
   • -5x³y²+30x²y²-25 år²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Øv med vanskelige problemer.

   Disse problemer kan ikke indregnes i lettere ligninger, så du bliver nødt til at lave et svar i form af (_x + _) (_ x + _) ved at teste:

   • 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← fremhæv for at se svaret
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Tip: du skal muligvis prøve mere end et par faktorer for 9x).

   Tips

   • Hvis du ikke ved, hvordan du faktoriserer et kvadratisk trinomium (aks²+bx+c), kan bruge den kvadratiske formel til at finde værdien af x.

   • Selvom du ikke behøver at vide, hvordan du gør dette, kan du bruge Eisensteins kriterium til hurtigt at afgøre, om et polynom er irreducerbart og ikke kan medregnes. Dette kriterium gælder for ethvert polynom, men det fungerer særligt godt med trinomier. Hvis der er et primtal "p", der deler de to sidste udtryk ligeligt og opfylder følgende betingelser, er polynomet ureducerbart:

     • Det konstante udtryk (ingen variabel) er et multiplum af p, men ikke p.².
     • Hovedudtrykket (f.eks. "A" i ax²+bx+c) er ikke et multiplum af p.
     • For eksempel 14x² + 45x + 51 er ureducerbar, da der er et primtal (3), der deler 45 og 51 ligeligt, men ikke 14, og 51 kan ikke divideres ligeligt med 3².

   Opslag

   • Selvom dette er tilfældet for kvadratiske ligninger, er faktorable trinomier ikke nødvendigvis et produkt af to binomier. For eksempel: x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).