Den ensartede trekant har to lige store sider, som altid mødes i samme vinkel til basen (den tredje side) og direkte over midten af den. For at afgøre, om et objekt af denne type virkelig er ensartet, skal du bare bruge en lineal og to blyanter af lige længde: hvis du forsøger at vippe den geometriske form i en hvilken som helst retning, møder graffitispidserne ikke. På grund af disse særlige egenskaber er det muligt at beregne arealet af en ensbenet trekant ud fra nogle grundlæggende oplysninger.
trin
Metode 1 af 2: Bestemmelse af området ud fra sidernes længde
Trin 1. Tænk på parallelogramområdet
Ethvert objekt, der har to par parallelle sider og i alt fire sider - såsom firkanter og rektangler - er parallelogrammer. Alle former af typen har den samme simple arealformel: basis gange højde eller A = b * h. Hvis objektet placeres på en vandret overflade, svarer basen til længden af den side, det hviler på. Højde er til gengæld afstanden fra bunden til toppen, der bevæger sig væk fra selve overfladen. Mål altid denne værdi i en ret vinkel (90 °) til basen.
For firkanter og rektangler er højden lig med længden af en af de lodrette sider, da de er i en ret vinkel i forhold til bunden
Trin 2. Sammenlign trekanten med parallelogrammet
Forholdet mellem disse to former er enkelt: Hvis det skæres diagonalt i to, giver ethvert parallelogram to to lige store trekanter. Det modsatte er også sandt: Når der er to identiske trekanter, kan de sættes sammen til et parallelogram. I denne forstand er formlen for arealet af enhver trekant A = b * h / 2 - præcis halvdelen af størrelsen af et tilsvarende parallelogram.
Trin 3. Bestem basisværdien af den ensartede trekant
Med formlen i hånden er det tid til at tænke: hvad betyder "base" og "højde" egentlig i forhold til trekanten? Basen er let, da den svarer til den ene side af forskellige mål for formen.
- For eksempel: i en ensartet trekant med sider på 5, 5 og 6 cm er bunden siden af 6.
- Hvis trekanten har lige sider (ligesidet), kan en hvilken som helst af dem være basen. Ligesidige trekanter er en særlig type ensartede, men du kan bruge den samme formel som området.
Trin 4. Tegn en linje mellem basen og det modsatte toppunkt (den rigtige vinkel)
Det vil bestemme objektets højde; markere det med bogstavet h. Efter beregning af værdien af h, vil du være i stand til at bestemme området.
I den ensartede trekant er denne linje altid i den nøjagtige midten af basen
Trin 5. Undersøg en af halvdelene af den ensartede trekant
Bemærk, at højdelinjen har opdelt objektet i to identiske retvinklede trekanter. Identificer de tre sider af en af dem:
- En af de mindre sider er lig med halvdelen af basen: b2 { displaystyle { frac {b} {2}}}
- O outro lado menor equivale à altura (h).
- A hipotenusa do triângulo retângulo é um dos dois lados iguais do isósceles. Aqui, pode ser identificada como s.
Trin 6. Saml Pythagoras sætning.
Når du har værdien af to sider af en højre trekant, kan du bruge sætningen til at bestemme den tredje: (catheto/side 1)2 + (kateto/side 2)2 = (hypotenuse)2. Når variablerne i dette problem placeres på deres rigtige steder, ser optællingen således ud: (b2) 2+h2 = s2 { displaystyle ({ frac {b} {2}})^{2}+h^{2} = s ^{2}}
- Você provavelmente viu o Teorema de Pitágoras na escola como a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
. skrive det som"
Trin 7. Bestem værdien af h
Husk, at arealformlen bruger b og h, men du har endnu ikke værdien h. Transformér den for at finde løsningen:
-
(b2) 2+h2 = s2 { displaystyle ({ frac {b} {2}})^{2}+h^{2} = s^{2}}
h2=s2−(b2)2{displaystyle h^{2}=s^{2}-({frac {b}{2}})^{2}}
h=(s2−(b2)2){displaystyle h={sqrt {(}}s^{2}-({frac {b}{2}})^{2})}
Trin 8. Saml ligningen med værdierne i trekanten for at bestemme h
Nu hvor du ved, hvilken formel du skal bruge, kan du anvende den på enhver ensartet trekant, hvis sider du allerede kender. Sæt bare basisværdien i stedet for b og en af de samme sider i s.
- For eksempel: hvis du har en ensartet trekant med sider på 5, 5 og 6 cm, gør: b = 6 og s = 5.
-
Erstat dem i formlen:
h = (s2− (b2) 2) { displaystyle h = { sqrt {(}} s^{2}-({ frac {b} {2}})^{2})}
h=(52−(62)2){displaystyle h={sqrt {(}}5^{2}-({frac {6}{2}})^{2})}
h=(25−32){displaystyle h={sqrt {(}}25-3^{2})}
h=(25−9){displaystyle h={sqrt {(}}25-9)}
h=(16){displaystyle h={sqrt {(}}16)}
h=4{displaystyle h=4}
cm.
Trin 9. Saml arealligningen med basis- og højdeværdierne
Du har nu de data, der er nødvendige for at bruge formlen præsenteret i begyndelsen af dette afsnit: areal = b * h / 2. Sæt bare værdierne for b og h ind i det for at finde svaret, som skal være i kvadratiske enheder (meter, centimeter osv. i kvadrat).).
- Stadig i eksemplet med trekanten 5, 5 og 6 cm ville basen være 6 cm og højden være 4.
-
A = b * h / 2
H = (6 cm) * (4 cm) / 2
H = 12 cm2.
Trin 10. Prøv at bestemme området for et vanskeligere eksempel
De fleste problemer med ensartede trekanter er mere komplicerede end eksemplet ovenfor. Højde er normalt angivet i kvadratroden, så det er ikke muligt at forenkle det til et helt tal. Prøv i så fald at forenkle selve roden. Se:
- Hvad er arealet af en trekant, hvis sider måler 8, 8 og 4 centimeter?
- Brug den forskellige måleside, 4 cm, som bund (b).
-
Højde h = 82− (42) 2 { displaystyle h = { sqrt {8^{2}-({ frac {4} {2}})^{2}}}}
=64−4{displaystyle ={sqrt {64-4}}}
=60{displaystyle ={sqrt {60}}}
- Fatore a raiz quadrada para simplificá-la: h=60=4∗15=415=215.{displaystyle h={sqrt {60}}={sqrt {4*15}}={sqrt {4}}{sqrt {15}}=2{sqrt {15}}.}
- Área =12bh{displaystyle ={frac {1}{2}}bh}
- Deixe a resposta assim ou digite-a em uma calculadora para encontrar um valor decimal aproximado (cerca de 15, 49 centímetros quadrados).
=12(4)(215){displaystyle ={frac {1}{2}}(4)(2{sqrt {15}})}
=415{displaystyle =4{sqrt {15}}}
Método 2 de 2: Usando propriedades trigonométricas
Trin 1. Start med den ene side og en vinkel
Hvis du forstår trigonometri, kan du bestemme arealet af den ensartede trekant, selvom du ikke har sideværdien. Se eksemplet herunder:
- De to lige store sider har en længde på 10 centimeter.
- Vinklen θ mellem de to lige sider er 120 °.
Trin 2. Del den ligebenede trekant i to rigtige trekanter
Tegn en spidslinje mellem siderne lig med bunden af den rigtige vinkel for at generere to former af det samme område.
Denne linje deler θ i det halve. Hver halvdel har en vinkel på θ / 2 - i dette tilfælde 120 /2 = 60 °
Trin 3. Brug trigonometriske egenskaber til at bestemme værdien af h
Nu hvor du har en rigtig trekant, kan du bruge sinus-, cosinus- og tangent -trigonometriske funktioner. I eksemplet har vi hypotenusen, og vi vil finde værdien af h, den side, der støder op til vinklen, hvis længde vi allerede kender. Brug det faktum, at cosinus = tilstødende vinkel / hypotenuse til at finde svaret:
- Cos (θ / 2) = h / s
- Cos (60 °) = t / 10
- H = 10cos (60 °)
Trin 4. Find værdien af den resterende side
Der mangler stadig en værdi, som kan kaldes x. Løs det ved hjælp af definitionen sinus = modsat vinkel / hypotenuse:
- Sen (θ / 2) = x / s
- Sen (60 °) = x / 10
- X = 10sen (60 °)
Trin 5. Find forholdet mellem x og bunden af den ensartede trekant
Nu kan du analysere hele billedet. Dens samlede base, b, er lig med 2 x, da den er blevet opdelt i to segmenter, hver værd x.
Trin 6. Bring værdierne for b og h til grundformlen for området
Nu hvor du har bunden og højden, kan du bruge A = b * h / 2.
-
A = b * h / 2
= (2x) * (10cos60 °) / 2
= (10sen60 °) * (10cos60 °)
= 100sen (60 °) cos (60 °)
- Alternativt kan værdierne sendes til en lommeregner (i grader) for at få svaret på 43,3 kvadratcentimeter eller bruge trigonometriske egenskaber til at forenkle udtrykket for A = 50sin (120 °).
Trin 7. Gør formlen universel
Nu hvor du ved, hvordan du løser problemet, kan du bruge den generelle formel uden at gå igennem hele processen for hver øvelse. Hvis du følger disse trin uden at bruge specifikke værdier (og forenkler alt ved hjælp af trigonometriske egenskaber), får du følgende resultat:
- A = s2 * hvis
- S er længden af en af to lige store sider.
- θ er vinklen mellem to lige store sider.
Tips
- Det er lettest at bestemme arealet af en ensartet trekant (to lige sider og en 90 ° vinkel). Du kan bruge den ene af de mindre sider som bund og den anden som højden. Nu vil formlen A = b * h / 2 blive forenklet som s2 / 2, hvor s er længden af en af kortsiderne.
- Kvadratrødder har to løsninger, en positiv og en negativ. I geometri kan du ignorere den negative rod, da der f.eks. Ikke er nogen trekant med "negativ højde".
- Nogle trigonometri -problemer kan give andre oplysninger i udsagnet, såsom længden af basen og en vinkel (og det faktum, at trekanten er ensartet). Den grundlæggende strategi er den samme: opdel den ligebenede trekant i to rektangler og bestemm højden ved hjælp af trigonometriske funktioner.
